二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像特征与$a$，$b$，$c$及判别式$b^{2}-4ac$的符号之间的关系
|字母的符号|图像的特征|
|----|----|
|$a$|$a ＞ 0$，开口向①______|
|$a$|$a ＜ 0$，开口向②______|
|$b$|$b = 0$，对称轴为③______|
|$b$|$ab＞0(b$与$a$同号)，对称轴在$y$轴左侧|
|$b$|$ab＜0(b$与$a$异号)，对称轴在$y$轴右侧|
|$c$|$c = 0$，经过原点|
|$c$|$c ＞ 0$，与$y$轴正半轴相交|
|$c$|$c ＜ 0$，与$y$轴负半轴相交|
|$b^{2}-4ac$|$b^{2}-4ac = 0$，与$x$轴有唯一交点(顶点)|
|$b^{2}-4ac$|$b^{2}-4ac＞0$，与$x$轴有两个不同的交点|
|$b^{2}-4ac$|$b^{2}-4ac＜0$，与$x$轴没有交点|
|特殊关系|当$x = 1$时，$y = a + b + c$|
|特殊关系|当$x = -1$时，$y = a - b + c$|
|特殊关系|若$a + b + c＞0$，则当$x = 1$时，$y＞0$|
|特殊关系|若$a - b + c＞0$，则当$x = -1$时，$y＞0$|

1. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，若系数$a$，$b$，$c$中有一个未知，则代入任意一点的坐标；若有两个未知，则代入任意两点的坐标；若三个都未知，则根据下表选择合适的表达式
|已知|选用表达式的形式|
|----|----|
|顶点+别的点|$y = a(x - h)^{2}+k$|
|与$x$轴的两个交点+别的点|$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$|
|与$x$轴的一个交点+对称轴+别的点|$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$|
|任意三个点|$y = ax^{2}+bx + c$|

2. 得到一次方程(组)，求得系数或常数项

3. 将所得系数或常数项代回表达式

1. 将已知表达式化为顶点式$y = a(x - h)^{2}+k$

2. 根据下表求出变换后的$a$，$h$，$k$
|$y = a(x - h)^{2}+k$|$a$|顶点$(h,k)$|
|----|----|----|
|平移变换|不变|变|
|轴对称变换|$x$轴|$-a$|$(h,-k)$|
|轴对称变换|$y$轴|不变|$(-h,k)$|

3. 将变换后的$a$，$h$，$k$替代原顶点式中相应的值即可得到变换后的表达式

二次函数与方程、不等式的关系
与一元二次方程的关系：方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解是抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴的交点的横坐标
$b^{2}-4ac＞0\Leftrightarrow$抛物线与$x$轴有④______交点，方程有两个不相等的实数根
$b^{2}-4ac = 0\Leftrightarrow$抛物线与$x$轴有⑤______交点，方程有两个相等的实数根
$b^{2}-4ac＜0\Leftrightarrow$抛物线与$x$轴没有交点，方程没有实数根

与不等式的关系：设二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像与$x$轴的交点坐标为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，$x_{1}＜x_{2}$. 若$a ＞ 0$，则当$x＜x_{1}$或$x＞x_{2}$时，$y＞0$；当$x_{1}＜x＜x_{2}$时，$y＜0$. 若$a ＜ 0$，则当$x＜x_{1}$或$x＞x_{2}$时，$y＜0$；当$x_{1}＜x＜x_{2}$时，$y＞0$. 以$a ＞ 0$为例，如下表
|判别式$b^{2}-4ac$|$b^{2}-4ac＞0$|$b^{2}-4ac = 0$|$b^{2}-4ac＜0$|
|----|----|----|----|
|二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像||||
|$ax^{2}+bx + c＞0$的解集|$x＜x_{1}$或$x＞x_{2}$|$x\neq-\frac{b}{2a}$|一切实数|
|$ax^{2}+bx + c＜0$的解集|$x_{1}＜x＜x_{2}$|无解|无解|