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1. （2024·淮安涟水模拟）二次函数$y = x^{2}+2x$的对称轴是（ ）
A. 直线$x = 1$
B. 直线$x = -1$
C. 直线$x = -2$
D. 直线$x = 2$
A. 直线$x = 1$
B. 直线$x = -1$
C. 直线$x = -2$
D. 直线$x = 2$
答案
B
2. （2023·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数$y=(x + 1)^{2}+3$的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. $y=(x + 3)^{2}+2$
B. $y=(x - 1)^{2}+2$
C. $y=(x - 1)^{2}+4$
D. $y=(x + 3)^{2}+4$
A. $y=(x + 3)^{2}+2$
B. $y=(x - 1)^{2}+2$
C. $y=(x - 1)^{2}+4$
D. $y=(x + 3)^{2}+4$
答案
B
3. （2024·连云港海州二模）在平面直角坐标系中，点$D(n,y_{1})$，$E(3,y_{2})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上. 若$y_{1}＞y_{2}$，则$n$的取值范围是（ ）
A. $n＞3$或$n＜-1$
B. $n＞3$
C. $n＜-1$
D. $-1 ＜ n ＜ 3$
A. $n＞3$或$n＜-1$
B. $n＞3$
C. $n＜-1$
D. $-1 ＜ n ＜ 3$
答案
D
4. （2023·镇江）二次函数$y=-2x^{2}+9$的最大值为_______.
答案
9
5. 已知二次函数$y = ax^{2}-2ax + c$（$a$，$c$为常数，$a\neq0$）的最大值为2，写出一组符合条件的$a$和$c$的值：__________.
答案
答案不唯一，如$a = - 2$，$c = 0$
6. （2024·泰州兴化二模）已知二次函数$y=-2x^{2}+bx$，当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而增大，则$b$的取值范围是_______.
答案
$b\geqslant8$
7. （2024·常州新北模拟）如图，将抛物线$y = 2(x + 1)^{2}+1$绕原点$O$按顺时针方向旋转45°得到新曲线，新曲线与直线$y = x$交于点$M$，求点$M$的坐标.
答案
直线$y = x$绕原点$O$按逆时针方向旋转$45^{\circ}$得到直线$x = 0$。设抛物线$y = 2(x + 1)^{2}+1$与$y$轴的交点为$M'$。在$y = 2(x + 1)^{2}+1$中，令$x = 0$，得$y = 3$，$\therefore M'(0,3)$。设$M(m,m)(m＞0)$。由题意，易得$OM = OM' = 3$，$\therefore m^{2}+m^{2}=3^{2}$，解得$m=\frac{3\sqrt{2}}{2}$（负值舍去）。$\therefore$点$M$的坐标为$(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$
8. （2024·南京模拟）在平面直角坐标系中，点$(1,y_{1})$，$(3,y_{2})$在抛物线$y = x^{2}-2mx+m^{2}$上.
（1）抛物线的顶点坐标为_______；
（2）若$y_{1}＜y_{2}$，求$m$的取值范围；
（3）若点$(x_{0},y_{0})$在抛物线上，存在$-1＜x_{0}＜0$，使$y_{1}＜y_{0}＜y_{2}$成立，求$m$的取值范围.
（1）抛物线的顶点坐标为_______；
（2）若$y_{1}＜y_{2}$，求$m$的取值范围；
（3）若点$(x_{0},y_{0})$在抛物线上，存在$-1＜x_{0}＜0$，使$y_{1}＜y_{0}＜y_{2}$成立，求$m$的取值范围.
答案
(1)$(m,0)$ (2)$\because$点$(1,y_{1})$，$(3,y_{2})$在抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}$上，且$y_{1}＜y_{2}$，$\therefore 1 - 2m + m^{2}＜9 - 6m + m^{2}$。$\therefore m＜2$
(3)$\because$点$(x_{0},y_{0})$在抛物线上，存在$-1＜x_{0}＜0$，使$y_{1}＜y_{0}＜y_{2}$成立，$\therefore\begin{cases}\frac{0 + 1}{2}＜m,\\\frac{0 + 3}{2}＞m\end{cases}$或$\begin{cases}\frac{-1 + 1}{2}＜m,\\\frac{-1 + 3}{2}＞m\end{cases}$ $\therefore 0＜m＜\frac{3}{2}$
(3)$\because$点$(x_{0},y_{0})$在抛物线上，存在$-1＜x_{0}＜0$，使$y_{1}＜y_{0}＜y_{2}$成立，$\therefore\begin{cases}\frac{0 + 1}{2}＜m,\\\frac{0 + 3}{2}＞m\end{cases}$或$\begin{cases}\frac{-1 + 1}{2}＜m,\\\frac{-1 + 3}{2}＞m\end{cases}$ $\therefore 0＜m＜\frac{3}{2}$
