典例1（2023·扬州）已知二次函数$y = ax^{2}-2x+\frac{1}{2}$（$a$为常数，且$a＞0$）. 有下列结论：① 函数图像一定经过第一、二、四象限；② 函数图像一定不经过第三象限；③ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；④ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大. 其中，正确的是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ②
D. ③④

$\because a＞0$，$\therefore$ 函数图像的开口向上，对称轴为直线 $x = -\frac{-2}{2a}=\frac{1}{a}$.$\therefore \frac{1}{a}＞0$.$\therefore$ 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 $x＞\frac{1}{a}$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，函数图像一定不经过第三象限，函数图像可能经过第一、二、四象限.$\therefore$ 正确的是②③. 故选 B.

典例2（2024·盐城亭湖三模）已知抛物线$y = ax^{2}+4ax + c$（$a＜0$）过点$A(3,y_{1})$，$B(-1,y_{2})$，$C(2,y_{3})$，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系为（ ）
A. $y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
B. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C. $y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
D. $y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$

$\because y = ax^{2}+4ax + c(a＜0)$，$\therefore$ 函数图像的开口向下，对称轴是直线 $x = -\frac{4a}{2a}=-2$.$\therefore$ 当 $x＞-2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.$\because -2＜-1＜2＜3$，$\therefore y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$. 故选 C.

【变式1】（2024·泰州二模）已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a＞0$）图像的对称轴是直线$x = t$，点$A(2,m)$，$B(4,n)$在这个二次函数的图像上. 若$1＜t＜2$，则$m$，$n$，$c$的大小关系是（ ）

A. $m＜c＜n$
B. $m＜n＜c$
C. $c＜m＜n$
D. $m＜n=c$

$\because$ 对称轴是直线 $x = t$，$\therefore$ 易得当 $x = 0$ 时的函数值与当 $x = 2t$ 时的函数值相同，均为 $c$. 又 $\because a＞0$，$\therefore$ 抛物线的开口向上.$\therefore$ 当 $x＞t$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.$\because 1＜t＜2$，$\therefore 2＜2t＜4$.$\therefore m＜c＜n$. 故选 A.

【变式2】（2024·连云港赣榆三模）已知点$A(x_{1},y_{1})$在直线$y = -x - 6$上，点$B(x_{2},y_{2})$，$C(x_{3},y_{3})$在抛物线$y = -x^{2}-4x - 2$上. 若$y_{1}=y_{2}=y_{3}$，$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$，则$x_{1}+x_{2}+x_{3}$的取值范围是（ ）

A. $-8＜x_{1}+x_{2}+x_{3}＜-4$
B. $-10＜x_{1}+x_{2}+x_{3}＜-6$
C. $-4＜x_{1}+x_{2}+x_{3}＜0$
D. $-12＜x_{1}+x_{2}+x_{3}＜-8$

令 $-x - 6=-x^{2}-4x - 2$，整理，得 $x^{2}+3x - 4 = 0$，解得 $x_{1}=1$，$x_{2}=-4$.$\therefore$ 直线 $y = -x - 6$ 与抛物线 $y = -x^{2}-4x - 2$ 的交点的横坐标为 $1$，$-4$.$\because y = -x^{2}-4x - 2=-(x + 2)^{2}+2$，$\therefore$ 抛物线的开口向下，对称轴为直线 $x = -2$，顶点为 $(-2,2)$. 把 $y = 2$ 代入 $y = -x - 6$，解得 $x = -8$. 若 $y_{1}=y_{2}=y_{3}$，$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$，则 $-8＜x_{1}＜-4$，$x_{2}+x_{3}=-4$.$\therefore -12＜x_{1}+x_{2}+x_{3}＜-8$. 故选 D.

典例3（2024·宿迁沭阳模拟）将抛物线$y = -x^{2}+1$先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. $y = -(x + 2)^{2}+2$
B. $y = -(x - 2)^{2}$
C. $y = -(x + 2)^{2}$
D. $y = -(x - 2)^{2}+2$

C.

典例4（2024·无锡模拟）已知抛物线$y = x^{2}-2mx$（$-1\leqslant m\leqslant 2$）经过点$A(p,t)$，$B(p + 2,t)$，则$t$的最小值是________.

$\because$ 抛物线 $y = x^{2}-2mx$，$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x = -\frac{-2m}{2\times1}=m$.$\because$ 抛物线 $y = x^{2}-2mx(-1\leqslant m\leqslant2)$ 经过点 $A(p,t)$，$B(p + 2,t)$，$\therefore$ 点 $A(p,t)$，$B(p + 2,t)$ 关于对称轴对称，$t = p^{2}-2mp$.$\therefore \frac{p + p + 2}{2}=m$，即 $p + 1=m$.$\therefore p = m - 1$.$\therefore t=(m - 1)^{2}-2m(m - 1)=-m^{2}+1$.$\because -1\leqslant m\leqslant2$，$\therefore$ 易得当 $m = 2$ 时，$t$ 取得最小值，为 $-4 + 1=-3$.

典例5（2024·苏州虎丘二模）如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴相交于点$A$，$B$，与$y$轴相交于点$C$，过点$C$作$CD\perp y$轴，交该图像于点$D$. 若点$B$，$D$的坐标分别为$(8,0)$，$(6,4)$，则$\triangle ABC$的面积为________.

$\because A$，$B$ 为函数图像与 $x$ 轴的交点，$CD// x$ 轴，$\therefore$ 点 $A$，$B$ 关于函数图像的对称轴对称，点 $C$，$D$ 关于函数图像的对称轴对称.$\because D(6,4)$，点 $C$ 在 $y$ 轴上，$\therefore C(0,4)$.$\therefore OC = 4$，函数图像的对称轴为直线 $x = 3$.$\because B(8,0)$.$\therefore A(-2,0)$.$\therefore AB = 10$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}\times10\times4 = 20$.

典例6（2024·无锡模拟）如图，二次函数$y = x^{2}-4x + 3$的图像交$x$轴于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），交$y$轴于点$C$，连接$AC$. 将$AC$绕点$C$按逆时针方向旋转$45^{\circ}$，其所在直线与二次函数的图像交于点$E$，则点$E$的坐标为________.

令 $y = 0$，则 $x^{2}-4x + 3 = 0$，解得 $x_{1}=1$，$x_{2}=3$.$\therefore A(1,0)$，$B(3,0)$.$\therefore OA = 1$，$OB = 3$. 令 $x = 0$，则 $y = 3$，$\therefore C(0,3)$.$\therefore OC = 3$. 过点 $A$ 作 $AC$ 的垂线，交 $CE$ 于点 $F$，过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $x$ 轴于点 $D$.$\because \angle ACF = 45^{\circ}$，$\angle CAF = 90^{\circ}$，$\therefore$ 易得 $AC = AF$.$\because \angle FAD+\angle CAO = 90^{\circ}$，$\angle ACO+\angle CAO = 90^{\circ}$，$\therefore \angle FAD=\angle ACO$. 又 $\because \angle ADF=\angle COA = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle FAD\cong\triangle ACO$.$\therefore FD = AO = 1$，$AD = CO = 3$.$\therefore OD = OA + AD = 4$.$\therefore F(4,1)$. 设直线 $CE$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b$. 把 $C(0,3)$，$F(4,1)$ 代入，得 $\begin{cases}b = 3,\\4k + b = 1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = -\frac{1}{2},\\b = 3.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $CE$ 对应的函数表达式为 $y = -\frac{1}{2}x + 3$. 联立 $\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 3,\\y = x^{2}-4x + 3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 0,\\y = 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = \frac{7}{2},\\y = \frac{5}{4}.\end{cases}$ $\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\frac{7}{2},\frac{5}{4})$.