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定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做这个三角形的外接圆
外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心
确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆
外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心
确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆
答案
1. 圆内接四边形的对角互补，如图④，$\angle A+\angle BCD = 180^{\circ}$，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$
答案
2. 圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如图④，$\angle DCE=\angle A$
答案
典例1 如图，在扇形AOB中，D为$\overset{\frown}{AB}$上的点，连接AD并延长，交OB的延长线于点C.若CD = OA，∠O = 72°，则∠OAC的度数为（ ）
A. 35°
B. 52.5°
C. 70°
D. 72°
A. 35°
B. 52.5°
C. 70°
D. 72°
答案
D.
典例2（2024·扬州高邮一模）如图，⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB = 16.若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
答案
C.
典例3（2024·无锡模拟）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了以下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7 cm，AB = 8 cm，CD = 6 cm，则纸杯的直径为（ ）
A. 5 cm
B. 9.6 cm
C. 10 cm
D. 10.2 cm
A. 5 cm
B. 9.6 cm
C. 10 cm
D. 10.2 cm
答案
C.
典例4 如图，AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB = a＜1，以AB为一边在⊙O内作等边三角形ABC，D为⊙O上不同于点A的一点，且AB = BD = a，DC的延长线交⊙O于点E，则AE的长为（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}a$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. a
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}a$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. a
答案
如图，连接OE，OA，OB. ∵ △ABC是等边三角形，AB = BD，∴ AB = BC = AC = BD = a，∠CAB = ∠ACB = 60°. ∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$. ∴ ∠AED = ∠AOB. ∵ BD = BC，∴ ∠D = ∠BCD. ∵ 四边形EABD内接于⊙O，∴ ∠EAB + ∠D = 180°，即∠EAC + 60° + ∠D = 180°. 又∵ ∠ECA + 60° + ∠BCD = 180°，∴ ∠ECA = ∠EAC，即△EAC是等腰三角形. 又∵ △OAB是等腰三角形，且∠AEC = ∠AOB，∴ ∠EAC = ∠ECA = ∠OAB = ∠OBA. ∵ AC = AB，∴ △EAC≌△OAB. ∴ AE = OA = 1. 故选B.
典例5（2024·连云港）如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = ______.
答案
90.
