9. (2023·泸州校级月考)如图,正方形$OABC$有三个顶点在抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}$上,点$O$是原点,顶点$B$在$y$轴上,则顶点$A$的坐标是()
A. $(2,2)$
B. $(\sqrt{2},\sqrt{2})$
C. $(4,4)$
D. $(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$
![img alt=第9题]
A. $(2,2)$
B. $(\sqrt{2},\sqrt{2})$
C. $(4,4)$
D. $(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$
![img alt=第9题]
答案
10. 在同一平面直角坐标系中,二次函数$y = mx^{2}$与一次函数$y = -mx - m$的图像可能是()
![img alt=第10题]
![img alt=第10题]
答案
11. (岳阳中考)在同一平面直角坐标系中,二次函数$y = x^{2}$与反比例函数$y = \frac{1}{x}(x ＞ 0)$的图像如图所示,若两个函数图像上有三个不同的点$A(x_{1},m)$、$B(x_{2},m)$、$C(x_{3},m)$,其中$m$为常数,令$\omega = x_{1} + x_{2} + x_{3}$,则$\omega$的值为()
A. 1
B. $m$
C. $m^{2}$
D. $\frac{1}{m}$
![img alt=第11题]
A. 1
B. $m$
C. $m^{2}$
D. $\frac{1}{m}$
![img alt=第11题]
答案
12. 如图,$Rt\triangle OAB$的顶点$A(-3,6)$在抛物线$y = ax^{2}$上,将$Rt\triangle OAB$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$,得到$\triangle OCD$,边$CD$与该抛物线交于点$P$,则点$P$的坐标为______。
![img alt=第12题]
![img alt=第12题]
答案
13. (1)(2023·苏州校级月考)如图①,正方形的四个顶点坐标依次为$(1,-1)$,$(3,-1)$,$(3,-3)$,$(1,-3)$,若抛物线$y = ax^{2}$的图像与正方形有公共点,则$a$的取值范围是______。
(2)(2023·昆山校级月考)如图②,在平面直角坐标系中有$M(1,2)$,$N(3,3)$两点,如果抛物线$y = ax^{2}(a ＞ 0)$与线段$MN$没有公共点,则$a$的取值范围是______。
![img alt=第13题]
(2)(2023·昆山校级月考)如图②,在平面直角坐标系中有$M(1,2)$,$N(3,3)$两点,如果抛物线$y = ax^{2}(a ＞ 0)$与线段$MN$没有公共点,则$a$的取值范围是______。![img alt=第13题]
答案
14. 如图,直线$l$过$x$轴上一点$A(2,0)$,且与抛物线$y = ax^{2}$相交于$B$、$C$两点,$B$点坐标为$(1,1)$。
(1)求抛物线表达式；
(2)若抛物线上有一点$D$(在第一象限内),
使得$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COB}$,求点$D$的坐标。
![img alt=第14题]
(1)求抛物线表达式；
(2)若抛物线上有一点$D$(在第一象限内),
使得$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COB}$,求点$D$的坐标。![img alt=第14题]
答案
15. 新题型 新定义 在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成的矩形的周长与面积的数值相等,则称这个点为“美好点”,如图,过点$P$分别作$x$轴、$y$轴的垂线,与坐标轴围成的矩形$OAPB$的周长与面积的数值相等,则$P$为“美好点”。
(1)在点$M(2,2)$、$N(4,4)$、$Q(-6,3)$中,是“美好点”的有______。
(2)若“美好点”$P(a,-3)$在直线$y = x + b$($b$为常数)上,求$a$和$b$的值。
(3)若“美好点”$P$恰好在抛物线$y = \frac{1}{12}x^{2}$第一象限的图像上,在$x$轴上是否存在一点$Q$使得$\triangle POQ$为等腰三角形？若存在,请求出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由。
![img alt=第15题]
(1)在点$M(2,2)$、$N(4,4)$、$Q(-6,3)$中,是“美好点”的有______。
(2)若“美好点”$P(a,-3)$在直线$y = x + b$($b$为常数)上,求$a$和$b$的值。
(3)若“美好点”$P$恰好在抛物线$y = \frac{1}{12}x^{2}$第一象限的图像上,在$x$轴上是否存在一点$Q$使得$\triangle POQ$为等腰三角形？若存在,请求出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由。
![img alt=第15题]
答案
