登录
9天星原创 已知在△ABC 中，AB ＜ BC，用尺规在 BC 上确定一点 D，使得 AD + CD = BC，则下列作图中一定符合要求的是(
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
9 D 因为BC=BD+CD,AD+CD=BC,所以AD=BD。由题中作图痕迹可知,在选项A中,AB=BD,不符合题意;在选项B中,AD=CD,不符合题意;在选项C中,AC=CD,不符合题意;在选项D中,AD=BD,符合题意。
10[2025 北京朝阳区期中]如图，PD 垂直平分 AB，PE 垂直平分 BC，若 PA 的长为 7，则 PC 的长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
10 C 如图,连接PB。因为PD垂直平分AB,所以PB=PA=7,又因为PE垂直平分BC,所以PC=PB=7。
11[2025 抚顺新抚区期中]在联欢会上，有 A，B，C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，如图，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是△ABC 的(
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条高的交点
C
)A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条高的交点
答案
11 C
12[2025 保定月考]如图，在△ABC 中，点 E 是 BC 边上的一点，连接 AE，BD 垂直平分 AE，垂足为 F，交 AC 于点 D，连接 DE。若△ABC 的周长为 18，△DEC 的周长为 6，则 AB 的长为
6
。答案
12 6 因为BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,所以AB=BE,DA=DE,所以△DEC的周长为DE+DC+EC=DA+DC+EC=AC+EC=6,△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BE+EC+AC=AB+AB+AC+EC=18,所以2AB=18 - 6=12,所以AB=6。
13[2025 南京玄武区月考]如图，在△ABC 中，∠EDF = 82°，点 D 是 BC 上一点，EM，FN 分别是线段 BD，CD 的垂直平分线，则∠A 的度数是
82°
。答案
13 82° 因为EM,FN分别是线段BD,CD的垂直平分线,所以BE=DE,DF=CF,所以∠EDB=∠B,∠FDC=∠C,又因为∠EDF=82°,所以∠EDB+∠FDC=180° - ∠EDF=180° - 82°=98°,所以∠B+∠C=98°,所以∠A=180° - 98°=82°。
策略点拨
利用线段垂直平分线和等腰三角形求角的度数
由线段垂直平分线的性质可得到相等的线段,进而得到等腰三角形,再根据等腰三角形的两底角相等求角的度数。
策略点拨
利用线段垂直平分线和等腰三角形求角的度数
由线段垂直平分线的性质可得到相等的线段,进而得到等腰三角形,再根据等腰三角形的两底角相等求角的度数。
[变式 [2025 渭南期末]如图，在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，点 E，D，M 分别在 AB，BC，AC 上，连接 ED，DM，EM，点 F，N 分别在 BD，CD 上，连接 EF，MN。
(1)若 EF，MN 分别是△BED 和△DMC 的中线，DF = 2，NC = 8，则 BC 的长度为
(2)若 EF，MN 分别垂直平分 BD，DC，判断 ED 与 MD 是否垂直，并说明理由。
(1)若 EF，MN 分别是△BED 和△DMC 的中线，DF = 2，NC = 8，则 BC 的长度为
20
；(2)若 EF，MN 分别垂直平分 BD，DC，判断 ED 与 MD 是否垂直，并说明理由。
答案
解:(1)20
因为EF,MN分别是△BED和△DMC的中线,所以BF=DF,DN=NC,所以BC=BF+DF+DN+NC=2+2+8+8=20。
(2)ED与MD垂直。理由如下:
因为EF,MN分别垂直平分BD,DC,
所以EB=ED,MD=MC,
所以∠B=∠EDB,∠MDC=∠C,
又因为∠A=90°,
所以∠EDB+∠MDC=∠B+∠C=90°,
所以∠EDM=180° - (∠EDB+∠MDC)=90°,
所以ED⊥MD。
因为EF,MN分别是△BED和△DMC的中线,所以BF=DF,DN=NC,所以BC=BF+DF+DN+NC=2+2+8+8=20。
(2)ED与MD垂直。理由如下:
因为EF,MN分别垂直平分BD,DC,
所以EB=ED,MD=MC,
所以∠B=∠EDB,∠MDC=∠C,
又因为∠A=90°,
所以∠EDB+∠MDC=∠B+∠C=90°,
所以∠EDM=180° - (∠EDB+∠MDC)=90°,
所以ED⊥MD。
14几何直观 [2025 揭阳期末]如图，线段 AB，DE 的垂直平分线交于点 C，且∠ABC = ∠EDC = 72°，∠AEB = 112°，则∠EBD 的度数为
148°
。答案
14 148° 如图,连接CE。由条件可知,CA=CB,CE=CD,所以∠ABC=∠BAC=∠EDC=∠DEC=72°,所以∠ACB=∠ECD=36°,所以∠ACE=∠BCD。在△ACE和△BCD中,CA=CB,∠ACE=∠BCD,CE=CD,所以△ACE≌△BCD(SAS),所以∠AEC=∠BDC。设∠AEC=∠BDC=x,则∠BDE=72° - x,∠CEB=112° - x,所以∠BED=∠DEC - ∠CEB=72° - (112° - x)=x - 40°,所以∠EBD=180° - (72° - x) - (x - 40°)=148°。
