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1. 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于，0 的 0 次幂没有意义，即 $ a^{0} = $($ a ≠ 0 $).
2. 任何不等于 0 的数的$-n$($ n $是正整数)次幂，等于这个数的$ n $次幂的，即$ a^{-n} = $($ a ≠ 0 $，$ n $是正整数).
3. 我们可以利用 10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中$ n $为，$ |a| $.
2. 任何不等于 0 的数的$-n$($ n $是正整数)次幂，等于这个数的$ n $次幂的，即$ a^{-n} = $($ a ≠ 0 $，$ n $是正整数).
3. 我们可以利用 10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中$ n $为，$ |a| $.
答案
1. 1，1；2. 倒数，$\frac{1}{a^{n}}$；3. $a×10^{-n}$，正整数，$1≤$，$＜ 10$
解析
1. 根据零指数幂的定义，任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即若$a≠0$，则$a^0 = 1$，而$0$的$0$次幂没有意义。
2. 根据负整数指数幂的定义，任何不等于 0 的数的$-n$（$n$是正整数）次幂，等于这个数的$n$次幂的倒数，即若$a≠0$，$n$是正整数，则$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
3. 用科学记数法表示一些绝对值较小的数时，可将它们表示成$a×10^{-n}$的形式，其中$n$为正整数，$1≤\vert a\vert＜10$。
2. 根据负整数指数幂的定义，任何不等于 0 的数的$-n$（$n$是正整数）次幂，等于这个数的$n$次幂的倒数，即若$a≠0$，$n$是正整数，则$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
3. 用科学记数法表示一些绝对值较小的数时，可将它们表示成$a×10^{-n}$的形式，其中$n$为正整数，$1≤\vert a\vert＜10$。
【典例 1】计算$-20 + (-2)^{0}$的结果是()
A.$-21$
B.$-19$
C.$0$
D.$2$
解析：根据零指数幂和有理数的加法法则，可得原式$ = -20 + 1 = -19 $.
A.$-21$
B.$-19$
C.$0$
D.$2$
解析：根据零指数幂和有理数的加法法则，可得原式$ = -20 + 1 = -19 $.
答案
B
解析
根据零指数幂的运算法则，任何非零数的零次幂都等于1，即$a^0=1(a≠0)$，所以$(-2)^0 = 1$。再根据有理数的加法法则计算$-20+(-2)^0=-20 + 1=-19$。
【对点训练】
1. 计算$-1^{0}$，以下结果正确的是()
A.$-1^{0} = -1$
B.$-1^{0} = 0$
C.$-1^{0} = 1$
D.$-1^{0}$无意义
1. 计算$-1^{0}$，以下结果正确的是()
A.$-1^{0} = -1$
B.$-1^{0} = 0$
C.$-1^{0} = 1$
D.$-1^{0}$无意义
答案
A
解析
根据零指数幂的定义，$a^{0}=1$（$a≠0$），这里$-1^{0}$实际是$-（1^{0}）$，因为指数运算优先于负号运算，$1^{0} = 1$，所以$-1^{0}=-1$。
【典例 2】$(-2)^{-3} =$()
A.$6$
B.$8$
C.$-\dfrac{1}{8}$
D.$\dfrac{1}{8}$
解析：$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^{3}} = -\dfrac{1}{8}$，
$\therefore$A、B、D 选项错误，不符合题意，C 选项正确，符合题意.
A.$6$
B.$8$
C.$-\dfrac{1}{8}$
D.$\dfrac{1}{8}$
解析：$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^{3}} = -\dfrac{1}{8}$，
$\therefore$A、B、D 选项错误，不符合题意，C 选项正确，符合题意.
答案
C
解析
根据负整数指数幂的定义，$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$（$a≠0$，$n$为正整数），则$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^{3}}$。
先计算$(-2)^{3}=(-2)×(-2)×(-2)= - 8$，所以$\frac{1}{(-2)^{3}}=-\frac{1}{8}$。
先计算$(-2)^{3}=(-2)×(-2)×(-2)= - 8$，所以$\frac{1}{(-2)^{3}}=-\frac{1}{8}$。
【对点训练】
2. 若$\dfrac{1}{3^{2}} = 3^{p}$，则$ p $的值为()
A.$-3$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-2$
D.$\dfrac{1}{2}$
2. 若$\dfrac{1}{3^{2}} = 3^{p}$，则$ p $的值为()
A.$-3$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-2$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
C
解析
根据题意，有$\frac{1}{3^{2}} = 3^{p}$，
由负整数指数幂的定义，我们知道$\frac{1}{a^{n}} = a^{-n}$，其中$a ≠ 0$，
应用这个定义到题目中，我们有$\frac{1}{3^{2}} = 3^{-2}$，
因此，我们可以得到$3^{p} = 3^{-2}$，
由于底数相同，我们可以直接比较指数，得到$p = -2$。
由负整数指数幂的定义，我们知道$\frac{1}{a^{n}} = a^{-n}$，其中$a ≠ 0$，
应用这个定义到题目中，我们有$\frac{1}{3^{2}} = 3^{-2}$，
因此，我们可以得到$3^{p} = 3^{-2}$，
由于底数相同，我们可以直接比较指数，得到$p = -2$。
【典例 3】将 $ 0.00025 $ 用科学记数法表示为()
A.$ 2.5 × 10^{4} $
B.$ 0.25 × 10^{-4} $
C.$ 2.5 × 10^{-4} $
D.$ 25 × 10^{-5} $
解析：根据用科学记数法表示较小的数的方法可得原数$ = 2.5 × 10^{-4} $.
A.$ 2.5 × 10^{4} $
B.$ 0.25 × 10^{-4} $
C.$ 2.5 × 10^{-4} $
D.$ 25 × 10^{-5} $
解析：根据用科学记数法表示较小的数的方法可得原数$ = 2.5 × 10^{-4} $.
答案
C
解析
科学记数法表示较小的数，一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为由原数左边起第一个不为零的数字前面的$0$的个数所决定。$0.00025$左边起第一个不为零的数字是$2$，它前面有$4$个$0$，所以$n=4$，$a=2.5$，即$0.00025=2.5×10^{-4}$。
【对点训练】
3. 中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 $ 28 $ nm 浸没式 DUV 光刻机.已知 $ 28 $ nm $ = 0.000000028 $ m.将数据 $ 0.000000028 $ 用科学记数法表示为()
A.$ 28 × 10^{-7} $
B.$ 2.8 × 10^{-8} $
C.$ 2.8 × 10^{-7} $
D.$ 0.28 × 10^{-8} $
3. 中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 $ 28 $ nm 浸没式 DUV 光刻机.已知 $ 28 $ nm $ = 0.000000028 $ m.将数据 $ 0.000000028 $ 用科学记数法表示为()
A.$ 28 × 10^{-7} $
B.$ 2.8 × 10^{-8} $
C.$ 2.8 × 10^{-7} $
D.$ 0.28 × 10^{-8} $
答案
B
解析
科学记数法的表示形式为$a×10^{n}$，其中$1≤\vert a\vert＜10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$＞1$时，$n$是正数；当原数绝对值$＜ 1$时，$n$是负数。对于$0.000000028$，要使$a$满足$1≤\vert a\vert＜10$，则$a = 2.8$，此时小数点向右移动了$8$位，所以$n = - 8$，即$0.000000028=2.8×10^{-8}$。
1. 计算下列各式，结果正确的是()
A.$(-1)^{0} = -1$
B.$100^{0} = 0$
C.$(π - 1)^{0} = 1$
D.$(x - 1)^{0} = 1$
A.$(-1)^{0} = -1$
B.$100^{0} = 0$
C.$(π - 1)^{0} = 1$
D.$(x - 1)^{0} = 1$
答案
C
解析
根据零指数幂的定义，对于任何不等于零的数$a$，都有$a^{0}=1$。
选项A：$(-1)≠0$，所以$(-1)^{0} = 1≠ - 1$，该选项错误。
选项B：$100≠0$，所以$100^{0}=1≠0$，该选项错误。
选项C：因为$π\approx3.14$，则$π - 1≠0$，所以$(π - 1)^{0}=1$，该选项正确。
选项D：当$x = 1$时，$x - 1=0$，此时$(x - 1)^{0}$无意义，该选项错误。
选项A：$(-1)≠0$，所以$(-1)^{0} = 1≠ - 1$，该选项错误。
选项B：$100≠0$，所以$100^{0}=1≠0$，该选项错误。
选项C：因为$π\approx3.14$，则$π - 1≠0$，所以$(π - 1)^{0}=1$，该选项正确。
选项D：当$x = 1$时，$x - 1=0$，此时$(x - 1)^{0}$无意义，该选项错误。
