2. 若$(x - 1)^{-1} + x^{0}$有意义，则$ x $的取值范围是()

A.$ x ≠ 0 $
B.$ x ≠ 1 $
C.$ x ＞ 0 $且$ x ≠ 1 $
D.$ x ≠ 0 $且$ x ≠ 1 $

D

根据负整数指数幂和零指数幂的定义，
$(x - 1)^{-1}$有意义，则底数$x - 1≠ 0$，即$x≠ 1$；
$x^0$有意义，则底数$x≠ 0$。
要使$(x - 1)^{-1} + x^{0}$有意义，则$x$需同时满足$x≠ 0$且$x≠ 1$。

3. 若$ a = 0.3^{2} $，$ b = -3^{-2} $，$ c = (-\dfrac{1}{3})^{-2} $，$ d = (-\dfrac{1}{3})^{0} $，则()

A.$ a ＜ b ＜ c ＜ d $
B.$ a ＜ d ＜ c ＜ b $
C.$ b ＜ a ＜ d ＜ c $
D.$ c ＜ a ＜ d ＜ b $

C

首先计算各值：
$a = 0.3^{2} = 0.09$；
$b = -3^{-2} = -\frac{1}{9}$；
$c = (-\frac{1}{3})^{-2} = (-3)^{2} = 9$；
$d = (-\frac{1}{3})^{0} = 1$。
比较大小：$b = -\frac{1}{9} \approx -0.111$，$a = 0.09$，$d = 1$，$c = 9$，故 $b ＜ a ＜ d ＜ c$。

4. 把 $ 0.0813 $ 写成 $ a × 10^{n} $($ 1 ≤ a ＜ 10 $，$ n $为整数)的形式，则$ a $为()

A.$ 1 $
B.$ -2 $
C.$ 0.813 $
D.$ 8.13 $

D

将0.0813写成$a×10^{n}$（$1≤a＜10$，$n$为整数）的形式，需将小数点向右移动2位得到8.13，此时$a=8.13$，$n=-2$。题目问的是$a$的值，所以$a=8.13$。

5. 已知$ a ≠ 0 $，$ m $是正整数，下列各式中错误的是()

A.$ a^{-m} = \dfrac{1}{a^{m}} $
B.$ a^{-m} = (\dfrac{1}{a})^{m} $
C.$ a^{-m} = -a^{m} $
D.$ a^{-m} = (a^{m})^{-1} $

C

根据负整数指数幂的定义，当$a ≠ 0$时，$a^{-m} = \frac{1}{a^{m}}$，其中$m$为正整数。
选项A：$a^{-m} = \frac{1}{a^{m}}$，符合定义，正确。
选项B：$a^{-m} = (\frac{1}{a})^{m}$，由于$(\frac{1}{a})^{m} = \frac{1}{a^{m}}$，与定义一致，正确。
选项C：$a^{-m} = -a^{m}$，这与负整数指数幂的定义不符，错误。
选项D：$a^{-m} = (a^{m})^{-1}$，由于$(a^{m})^{-1} = \frac{1}{a^{m}}$，与定义一致，正确。

6. 宋·苏轼《赤壁赋》中的：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟.”比喻非常渺小.据测量，$ 200 $ 粒粟的重量大约为 $ 1 $ 克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为()

A.$ 2 × 10^{2} $克
B.$ 2 × 10^{-2} $克
C.$ 5 × 10^{-2} $克
D.$ 5 × 10^{-3} $克

D

已知200粒粟的重量大约为1克，则一粒粟的重量约为$ \frac{1}{200} $克。
将$ \frac{1}{200} $转化为科学记数法：$ \frac{1}{200} = \frac{1}{2 × 10^2} = 5 × 10^{-3} $克。

7. $ (\sqrt{2026} - 1)^{0} = $.

1

根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于1。因为$\sqrt{2026} - 1$的值显然不为0，所以$(\sqrt{2026} - 1)^0 = 1$。

8. 若式子$(x - 4)^{0}$有意义，则实数$ x $的取值范围是.

$x ≠ 4$

根据零指数幂的意义，底数不为0时零指数幂有意义，所以$x - 4 ≠ 0$，解得$x ≠ 4$。

9. 若$ 3^{n} = \dfrac{1}{27} $，则$ n = $.

-3

因为$27 = 3^3$，所以$\dfrac{1}{27} = 3^{-3}$，又因为$3^n = \dfrac{1}{27} = 3^{-3}$，所以$n = -3$。

10. 计算：(1)$ \sqrt{4} - (\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2})^{0} + (-2)^{3} ÷ 3^{-1} $；
(2)$ (-1)^{3} - |1 - \sqrt{2}| + (\dfrac{1}{2})^{-2} × (π - 3.14)^{0} - \sqrt{8} $.

(1)
首先计算$\sqrt{4}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{4}=2$。
然后根据零指数幂的定义，任何非零数的$0$次幂都等于$1$，$(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2})^{0}=1$。
接着计算$(-2)^{3}$，$(-2)^{3}=(-2)×(-2)×(-2)= - 8$。
再根据负整数指数幂的定义，$3^{-1}=\dfrac{1}{3}$，则$(-2)^{3}÷3^{-1}=-8÷\dfrac{1}{3}=-8×3 = - 24$。
最后将以上结果代入原式：
$\sqrt{4}-(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2})^{0}+(-2)^{3}÷3^{-1}=2 - 1-24=-23$。
(2)
首先计算$(-1)^{3}$，$(-1)^{3}=-1$。
然后计算$\vert1 - \sqrt{2}\vert$，因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$。
接着根据负整数指数幂的定义，$(\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2})^{2}} = 4$。
再根据零指数幂的定义，$(π - 3.14)^{0}=1$，则$(\dfrac{1}{2})^{-2}×(π - 3.14)^{0}=4×1 = 4$。
又因为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
最后将以上结果代入原式：
$(-1)^{3}-\vert1 - \sqrt{2}\vert+(\dfrac{1}{2})^{-2}×(π - 3.14)^{0}-\sqrt{8}=-1-(\sqrt{2}-1)+4 - 2\sqrt{2}=-1-\sqrt{2}+1 + 4-2\sqrt{2}=4 - 3\sqrt{2}$。
综上，答案依次为$(1)-23$；$(2)4 - 3\sqrt{2}$。

11.(运算能力)(1)你发现了吗？$ (\dfrac{2}{3})^{2} = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3} $，$ (\dfrac{2}{3})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{2}{3})^{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} × \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2} × \dfrac{3}{2} $.
由上述计算，我们发现$ (\dfrac{2}{3})^{2} \_\_\_\_\_\_ (\dfrac{3}{2})^{-2} $.
(2)仿照(1)，请你判断$ (\dfrac{5}{4})^{3} $与$ (\dfrac{4}{5})^{-3} $之间的关系.
(3)我们可以发现$ (\dfrac{b}{a})^{-m} \_\_\_\_\_\_ (\dfrac{a}{b})^{m} $($ ab ≠ 0 $).

(1) =；(2) $(\dfrac{5}{4})^{3} = (\dfrac{4}{5})^{-3}$；(3) =

(1) 因为$(\dfrac{2}{3})^{2} = \dfrac{4}{9}$，$(\dfrac{3}{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{3}{2})^{2}} = \dfrac{4}{9}$，所以$(\dfrac{2}{3})^{2} = (\dfrac{3}{2})^{-2}$。
(2) $(\dfrac{5}{4})^{3} = \dfrac{125}{64}$，$(\dfrac{4}{5})^{-3} = \dfrac{1}{(\dfrac{4}{5})^{3}} = \dfrac{125}{64}$，故$(\dfrac{5}{4})^{3} = (\dfrac{4}{5})^{-3}$。
(3) $(\dfrac{b}{a})^{-m} = \dfrac{1}{(\dfrac{b}{a})^{m}} = (\dfrac{a}{b})^{m}$，所以$(\dfrac{b}{a})^{-m} = (\dfrac{a}{b})^{m}$。