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1. 要使分式$\dfrac{3x}{6 + 2x}$有意义，则$x$应满足的条件是()
A.$x ＞ -3$
B.$x ＜ -3$
C.$x≠0$
D.$x≠ -3$
A.$x ＞ -3$
B.$x ＜ -3$
C.$x≠0$
D.$x≠ -3$
答案
D
解析
要使分式$\dfrac{3x}{6 + 2x}$有意义，分母不能为0，即$6 + 2x ≠ 0$，解得$x ≠ -3$。
2. 若分式$\dfrac{x - 2}{2x + 1}$的值为$0$，则$x =$。
答案
$2$
解析
根据题意，分式 $\dfrac{x - 2}{2x + 1}$ 的值为 $0$，需要满足以下两个条件：
1. 分子 $x - 2 = 0$；
2. 分母 $2x + 1 ≠ 0$。
解第一个条件 $x - 2 = 0$，得到 $x = 2$。
然后验证第二个条件 $2x + 1 ≠ 0$，将$x = 2$代入得$2× 2+ 1 = 5 ≠ 0$，满足条件。
所以，当分式 $\dfrac{x - 2}{2x + 1}$ 的值为 $0$ 时，$x = 2$。
1. 分子 $x - 2 = 0$；
2. 分母 $2x + 1 ≠ 0$。
解第一个条件 $x - 2 = 0$，得到 $x = 2$。
然后验证第二个条件 $2x + 1 ≠ 0$，将$x = 2$代入得$2× 2+ 1 = 5 ≠ 0$，满足条件。
所以，当分式 $\dfrac{x - 2}{2x + 1}$ 的值为 $0$ 时，$x = 2$。
3. 分式$\dfrac{1}{2x - 2}$与$\dfrac{1}{1 - x}$的最简公分母是()
A.$x - 1$
B.$x^2 - 1$
C.$2(x - 1)$
D.$2(x - 1)^2$
A.$x - 1$
B.$x^2 - 1$
C.$2(x - 1)$
D.$2(x - 1)^2$
答案
C
解析
先对分母因式分解，$2x - 2 = 2(x - 1)$，$1 - x = -(x - 1)$。最简公分母取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积，系数最小公倍数是2，因式为$(x - 1)$，所以最简公分母是$2(x - 1)$。
4. 约分$\dfrac{-3a^2b}{6ab^3}$的结果是()
A.$-\dfrac{a}{2b^2}$
B.$-\dfrac{a}{4b^2}$
C.$\dfrac{a}{2b^2}$
D.$-\dfrac{a}{b^2}$
A.$-\dfrac{a}{2b^2}$
B.$-\dfrac{a}{4b^2}$
C.$\dfrac{a}{2b^2}$
D.$-\dfrac{a}{b^2}$
答案
A
解析
$\dfrac{-3a^2b}{6ab^3}=\dfrac{-3÷3}{6÷3}·\dfrac{a^2}{a}·\dfrac{b}{b^3}=-\dfrac{1}{2}· a·\dfrac{1}{b^2}=-\dfrac{a}{2b^2}$
5. 化简$(1 + \dfrac{1}{a})÷\dfrac{a^2 - 1}{a}$的结果是()
A.$a - 1$
B.$\dfrac{1}{a - 1}$
C.$\dfrac{1}{a + 1}$
D.$\dfrac{1}{a}$
A.$a - 1$
B.$\dfrac{1}{a - 1}$
C.$\dfrac{1}{a + 1}$
D.$\dfrac{1}{a}$
答案
B
解析
$\begin{aligned}&(1 + \dfrac{1}{a})÷\dfrac{a^2 - 1}{a}\\=&(\dfrac{a}{a} + \dfrac{1}{a}) × \dfrac{a}{a^2 - 1}\\=&\dfrac{a + 1}{a} × \dfrac{a}{(a + 1)(a - 1)}\\=&\dfrac{1}{a - 1}\end{aligned}$
6. 先化简，再求值：$(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$，从$-1$、$0$、$1$、$2$中选择适当的数代入计算。
答案
$\dfrac{1}{2}$
解析
化简过程：
$\begin{aligned}&(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}\\=&[\dfrac{2x - (x - 1)}{x(x - 1)}]÷\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2}\\=&\dfrac{x + 1}{x(x - 1)}×\dfrac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}\\=&\dfrac{1}{x}\end{aligned}$
确定取值：
要使原式有意义，需满足：$x - 1 ≠ 0$，$x ≠ 0$，$x^2 - 1 ≠ 0$，即$x ≠ -1, 0, 1$，故选择$x = 2$。
代入求值：
当$x = 2$时，$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$。
$\begin{aligned}&(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}\\=&[\dfrac{2x - (x - 1)}{x(x - 1)}]÷\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2}\\=&\dfrac{x + 1}{x(x - 1)}×\dfrac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}\\=&\dfrac{1}{x}\end{aligned}$
确定取值：
要使原式有意义，需满足：$x - 1 ≠ 0$，$x ≠ 0$，$x^2 - 1 ≠ 0$，即$x ≠ -1, 0, 1$，故选择$x = 2$。
代入求值：
当$x = 2$时，$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$。
7. 芝麻作为食品和药物，被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为$0.00000201\mathrm{kg}$，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为()
A.$2.01×10^{-3}\mathrm{kg}$
B.$2.01×10^{-6}\mathrm{kg}$
C.$20.1×10^{-6}\mathrm{kg}$
D.$2.01×10^{-7}\mathrm{kg}$
A.$2.01×10^{-3}\mathrm{kg}$
B.$2.01×10^{-6}\mathrm{kg}$
C.$20.1×10^{-6}\mathrm{kg}$
D.$2.01×10^{-7}\mathrm{kg}$
答案
B
解析
科学记数法表示较小的数，一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为由原数左边起第一个不为零的数字前面的$0$的个数所决定。$0.00000201$左边起第一个不为零的数字是$2$，它前面有$6$个$0$，所以$n=6$，$a=2.01$，故$0.00000201=2.01×10^{-6}$。
8. 计算：$\dfrac{3}{4}×(-0.4)^0 - (-\dfrac{2}{3})^{-2} =$。
答案
$-\dfrac{3}{2}$
解析
$\begin{aligned}&\dfrac{3}{4}×(-0.4)^0 - (-\dfrac{2}{3})^{-2}\\=&\dfrac{3}{4}×1 - \dfrac{1}{(-\dfrac{2}{3})^2}\\=&\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{\dfrac{4}{9}}\\=&\dfrac{3}{4} - \dfrac{9}{4}\\=&-\dfrac{6}{4}\\=&-\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
9. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{3x}{x - 1} = \dfrac{m}{1 - x}$有增根，则$m$的值为()
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-3$
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-3$
答案
D
解析
给定方程 $\dfrac{3x}{x - 1} = \dfrac{m}{1 - x}$，首先注意到 $1 - x = -(x - 1)$，因此方程可变形为：
$\dfrac{3x}{x - 1} = -\dfrac{m}{x - 1}$
两边同乘 $(x - 1)$（需注意 $x ≠ 1$）得：
$3x = -m$
解得 $x = -\dfrac{m}{3}$。
由于方程有增根，增根是使分母为 $0$ 的 $x$ 值，即 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入 $x = -\dfrac{m}{3}$，得：
$1 = -\dfrac{m}{3}$
解得 $m = -3$。
10. 代数式$\dfrac{2}{x + 2}$与代数式$\dfrac{5}{3x - 5}$的值相等，则$x =$。
答案
20
解析
由题意得$\dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{5}{3x - 5}$，交叉相乘得$2(3x - 5) = 5(x + 2)$，去括号得$6x - 10 = 5x + 10$，移项得$6x - 5x = 10 + 10$，解得$x = 20$。经检验，$x = 20$是原方程的解。
11. 解方程：
（1）$\dfrac{5}{x^2 - 1} - \dfrac{3}{x^2 - x} = 0$；
（2）$\dfrac{3}{x - 3} - \dfrac{4}{x^2 - 9} = 0$。
（1）$\dfrac{5}{x^2 - 1} - \dfrac{3}{x^2 - x} = 0$；
（2）$\dfrac{3}{x - 3} - \dfrac{4}{x^2 - 9} = 0$。
答案
（1）方程两边同乘最简公分母$x(x - 1)(x + 1)$，得：
$5x - 3(x + 1) = 0$
去括号：$5x - 3x - 3 = 0$
合并同类项：$2x - 3 = 0$
解得：$x = \frac{3}{2}$
检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$x(x - 1)(x + 1) = \frac{3}{2} × (\frac{3}{2} - 1) × (\frac{3}{2} + 1) = \frac{15}{8} ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = \frac{3}{2}$。
（2）方程两边同乘最简公分母$(x - 3)(x + 3)$，得：
$3(x + 3) - 4 = 0$
去括号：$3x + 9 - 4 = 0$
合并同类项：$3x + 5 = 0$
解得：$x = -\frac{5}{3}$
检验：当$x = -\frac{5}{3}$时，$(x - 3)(x + 3) = (-\frac{5}{3} - 3)(-\frac{5}{3} + 3) = -\frac{56}{9} ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = -\frac{5}{3}$。
$5x - 3(x + 1) = 0$
去括号：$5x - 3x - 3 = 0$
合并同类项：$2x - 3 = 0$
解得：$x = \frac{3}{2}$
检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$x(x - 1)(x + 1) = \frac{3}{2} × (\frac{3}{2} - 1) × (\frac{3}{2} + 1) = \frac{15}{8} ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = \frac{3}{2}$。
（2）方程两边同乘最简公分母$(x - 3)(x + 3)$，得：
$3(x + 3) - 4 = 0$
去括号：$3x + 9 - 4 = 0$
合并同类项：$3x + 5 = 0$
解得：$x = -\frac{5}{3}$
检验：当$x = -\frac{5}{3}$时，$(x - 3)(x + 3) = (-\frac{5}{3} - 3)(-\frac{5}{3} + 3) = -\frac{56}{9} ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = -\frac{5}{3}$。
