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知识梳理
1. 基本性质 1：不等式两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向。
2. 基本性质 2：不等式两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向。
3. 基本性质 3：不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向。
1. 基本性质 1：不等式两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向。
2. 基本性质 2：不等式两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向。
3. 基本性质 3：不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向。
答案
1. 不变；2. 不变；3. 改变
解析
根据不等式的基本性质进行填空，基本性质1，不等式两边都加上（或都减去）同一个数，不等号方向不变；基本性质2，不等式两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号方向不变；基本性质3，不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号方向改变。
重难点1 不等式的性质
【典例 1】已知 $a ＞ b$，下列不等式成立的是（C）
A. $a + 2 ＞ b + 3$
B. $-4a ＞ -4b$
C. $m - a ＜ m - b$
D. $am ＞ bm$
解析：A. $\because a ＞ b$，$\therefore a + 2 ＞ b + 2$，不一定有 $a + 2 ＞ b + 3$，不符合题意；B. $\because a ＞ b$，$\therefore -4a ＜ -4b$，不符合题意；C. $\because a ＞ b$，$\therefore -a ＜ -b$，$\therefore m - a ＜ m - b$，符合题意；D. $\because a ＞ b$，当 $m = 0$ 时，$am = bm$，$\therefore$ 不符合题意，故选 C。
【典例 1】已知 $a ＞ b$，下列不等式成立的是（C）
A. $a + 2 ＞ b + 3$
B. $-4a ＞ -4b$
C. $m - a ＜ m - b$
D. $am ＞ bm$
解析：A. $\because a ＞ b$，$\therefore a + 2 ＞ b + 2$，不一定有 $a + 2 ＞ b + 3$，不符合题意；B. $\because a ＞ b$，$\therefore -4a ＜ -4b$，不符合题意；C. $\because a ＞ b$，$\therefore -a ＜ -b$，$\therefore m - a ＜ m - b$，符合题意；D. $\because a ＞ b$，当 $m = 0$ 时，$am = bm$，$\therefore$ 不符合题意，故选 C。
答案
C
解析
A. 已知 $a ＞ b$，根据不等式性质，两边同时加同一个数，不等号方向不变，所以 $a + 2 ＞ b + 2$，但无法得出 $a + 2 ＞ b + 3$，所以A选项错误；
B. 已知 $a ＞ b$，根据不等式性质，两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，所以 $-4a ＜ -4b$，与B选项 $-4a ＞ -4b$ 不符，所以B选项错误；
C. 已知 $a ＞ b$，根据不等式性质，两边同时乘以-1，不等号方向改变，所以 $-a ＜ -b$，再根据不等式性质，两边同时加 $m$，不等号方向不变，所以 $m - a ＜ m - b$，与C选项一致，所以C选项正确；
D. 已知 $a ＞ b$，但当 $m = 0$ 时，根据等式性质，$am = bm$，所以D选项错误。
B. 已知 $a ＞ b$，根据不等式性质，两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，所以 $-4a ＜ -4b$，与B选项 $-4a ＞ -4b$ 不符，所以B选项错误；
C. 已知 $a ＞ b$，根据不等式性质，两边同时乘以-1，不等号方向改变，所以 $-a ＜ -b$，再根据不等式性质，两边同时加 $m$，不等号方向不变，所以 $m - a ＜ m - b$，与C选项一致，所以C选项正确；
D. 已知 $a ＞ b$，但当 $m = 0$ 时，根据等式性质，$am = bm$，所以D选项错误。
【对点训练】
1. 已知 $a ＞ b$，下列各式中，正确的是()
A. $-2024a ＞ -2024b$
B. $2024a ＜ 2024b$
C. $a - 2024 ＞ b - 2024$
D. $2024 - a ＞ 2024 - b$
1. 已知 $a ＞ b$，下列各式中，正确的是()
A. $-2024a ＞ -2024b$
B. $2024a ＜ 2024b$
C. $a - 2024 ＞ b - 2024$
D. $2024 - a ＞ 2024 - b$
答案
C
解析
根据不等式的基本性质，逐一分析选项。
A：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质3，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，因为$-2024＜0$，所以$-2024a＜ - 2024b$，该选项错误。
B：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质2，两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，因为$2024＞0$，所以$2024a＞ 2024b$，该选项错误。
C：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质1，两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，所以$a - 2024＞ b - 2024$，该选项正确。
D：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质3，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，因为$-1＜0$，所以$-a＜ - b$，再根据不等式的基本性质1，可得$2024 - a＜ 2024 - b$，该选项错误。
A：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质3，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，因为$-2024＜0$，所以$-2024a＜ - 2024b$，该选项错误。
B：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质2，两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，因为$2024＞0$，所以$2024a＞ 2024b$，该选项错误。
C：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质1，两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，所以$a - 2024＞ b - 2024$，该选项正确。
D：由$a＞ b$，根据不等式的基本性质3，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，因为$-1＜0$，所以$-a＜ - b$，再根据不等式的基本性质1，可得$2024 - a＜ 2024 - b$，该选项错误。
重难点2 利用不等式的性质解简单的不等式
【典例 2】将下列不等式化为“$x ＞ a$”或“$x ＜ a$”的形式。
（1）$-\dfrac{3}{2}x ＞ 60$；（2）$-2x + 3 ＜ 3x + 2$。
解：（1）$-\dfrac{3}{2}x ＞ 60$，不等式两边同时乘 $-\dfrac{2}{3}$，解得 $x ＜ -40$。
（2）$-2x + 3 ＜ 3x + 2$，不等式两边同时减 $3x$，得 $-5x + 3 ＜ 2$，不等式两边同时减 $3$，得 $-5x ＜ -1$，不等式两边同时除以 $-5$，得 $x ＞ \dfrac{1}{5}$。
【典例 2】将下列不等式化为“$x ＞ a$”或“$x ＜ a$”的形式。
（1）$-\dfrac{3}{2}x ＞ 60$；（2）$-2x + 3 ＜ 3x + 2$。
解：（1）$-\dfrac{3}{2}x ＞ 60$，不等式两边同时乘 $-\dfrac{2}{3}$，解得 $x ＜ -40$。
（2）$-2x + 3 ＜ 3x + 2$，不等式两边同时减 $3x$，得 $-5x + 3 ＜ 2$，不等式两边同时减 $3$，得 $-5x ＜ -1$，不等式两边同时除以 $-5$，得 $x ＞ \dfrac{1}{5}$。
答案
(1) $x ＜ -40$
(2) $x ＞ \dfrac{1}{5}$
(2) $x ＞ \dfrac{1}{5}$
解析
(1) 对于不等式 $-\dfrac{3}{2}x ＞ 60$：
根据不等式的基本性质3（不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变），
将不等式两边同时乘以 $-\dfrac{2}{3}$，得到 $x ＜ -40$。
(2) 对于不等式 $-2x + 3 ＜ 3x + 2$：
根据不等式的基本性质1（不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号方向不变），
先将不等式两边同时减 $3x$，得到 $-5x + 3 ＜ 2$；
再将不等式两边同时减 $3$，得到 $-5x ＜ -1$；
最后根据不等式的基本性质3，将不等式两边同时除以 $-5$，得到 $x ＞ \dfrac{1}{5}$。
根据不等式的基本性质3（不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变），
将不等式两边同时乘以 $-\dfrac{2}{3}$，得到 $x ＜ -40$。
(2) 对于不等式 $-2x + 3 ＜ 3x + 2$：
根据不等式的基本性质1（不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号方向不变），
先将不等式两边同时减 $3x$，得到 $-5x + 3 ＜ 2$；
再将不等式两边同时减 $3$，得到 $-5x ＜ -1$；
最后根据不等式的基本性质3，将不等式两边同时除以 $-5$，得到 $x ＞ \dfrac{1}{5}$。
【对点训练】
2. 将下列不等式化成“$x ＞ a$”或“$x ＜ a$”的形式。
（1）$x - 3 ＜ -1$；（2）$-\dfrac{x}{2} ＞ 8$。
2. 将下列不等式化成“$x ＞ a$”或“$x ＜ a$”的形式。
（1）$x - 3 ＜ -1$；（2）$-\dfrac{x}{2} ＞ 8$。
答案
（1）$x ＜ 2$；（2）$x ＜ -16$
解析
（1）$x - 3 ＜ -1$，两边同时加3，得$x ＜ -1 + 3$，即$x ＜ 2$；
（2）$-\dfrac{x}{2} ＞ 8$，两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 8×(-2)$，即$x ＜ -16$。
（2）$-\dfrac{x}{2} ＞ 8$，两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 8×(-2)$，即$x ＜ -16$。
基础巩固
1. 若 $m ＞ n$，则下列不等式中正确的是()
A. $m - 2 ＜ n - 2$
B. $1 - 2m ＜ 1 - 2n$
C. $-\dfrac{1}{2}m ＞ -\dfrac{1}{2}n$
D. $n - m ＞ 0$
2. 不等式 $1 - 2x ＜ 3$ 的解集为()
A. $x ＜ -1$
B. $x ＜ 1$
C. $x ＞ -1$
D. $x ＞ -2$
3. 已知 $a$，$b$，$c$ 均为实数，且 $a ＞ b$，$c ≠ 0$，则下列结论不一定正确的是()
A. $a + c ＞ b + c$
B. $c - a ＜ c - b$
C. $\dfrac{a}{c^{2}} ＞ \dfrac{b}{c^{2}}$
D. $a^{2} ＞ ab ＞ b^{2}$
4. 不等式 $2x - 4 ≤ 0$ 的解集是。
5. 利用不等式的性质解下列不等式。
(1)$x - 7 ＞ 26$；(2)$\dfrac{2}{3}x ＞ 50$；(3)$-4x ＞ 3$。
6. 已知不等式 $5x - 2 ＜ 6x + 1$ 的最小正整数解是方程 $3x - \dfrac{3}{2}ax = 6$ 的解，求 $a$ 的值。
7. 一个两位数，个位数字是 $a$，十位数字是 $b$，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，则得到的两位数大于原来的两位数，试判断 $a$ 与 $b$ 哪个大？请写出一个这样的两位数。
1. 若 $m ＞ n$，则下列不等式中正确的是()
A. $m - 2 ＜ n - 2$
B. $1 - 2m ＜ 1 - 2n$
C. $-\dfrac{1}{2}m ＞ -\dfrac{1}{2}n$
D. $n - m ＞ 0$
2. 不等式 $1 - 2x ＜ 3$ 的解集为()
A. $x ＜ -1$
B. $x ＜ 1$
C. $x ＞ -1$
D. $x ＞ -2$
3. 已知 $a$，$b$，$c$ 均为实数，且 $a ＞ b$，$c ≠ 0$，则下列结论不一定正确的是()
A. $a + c ＞ b + c$
B. $c - a ＜ c - b$
C. $\dfrac{a}{c^{2}} ＞ \dfrac{b}{c^{2}}$
D. $a^{2} ＞ ab ＞ b^{2}$
4. 不等式 $2x - 4 ≤ 0$ 的解集是。
5. 利用不等式的性质解下列不等式。
(1)$x - 7 ＞ 26$；(2)$\dfrac{2}{3}x ＞ 50$；(3)$-4x ＞ 3$。
6. 已知不等式 $5x - 2 ＜ 6x + 1$ 的最小正整数解是方程 $3x - \dfrac{3}{2}ax = 6$ 的解，求 $a$ 的值。
7. 一个两位数，个位数字是 $a$，十位数字是 $b$，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，则得到的两位数大于原来的两位数，试判断 $a$ 与 $b$ 哪个大？请写出一个这样的两位数。
答案
1.B；
2.C；
3.D；
4.$x ≤ 2$；
5.(1)$x ＞33$，(2)$x ＞ 75$，(3)$x ＜ -\frac{3}{4}$；
6.$a=-2$；
7.$a ＞b$，满足要求的两位数如12。
2.C；
3.D；
4.$x ≤ 2$；
5.(1)$x ＞33$，(2)$x ＞ 75$，(3)$x ＜ -\frac{3}{4}$；
6.$a=-2$；
7.$a ＞b$，满足要求的两位数如12。
解析
1.根据不等式的基本性质：
A选项：$m - 2 ＞ n - 2$，所以A选项错误。
B选项：不等式两边同时乘以-2（负数），不等号方向改变，即$-2m ＜ -2n$，再在两边同时加1，得到$1 - 2m ＜ 1 - 2n$，所以B选项正确。
C选项：不等式两边同时乘以$-\frac{1}{2}$（负数），不等号方向改变，即$-\frac{1}{2}m ＜ -\frac{1}{2}n$，所以C选项错误。
D选项：$n - m ＜ 0$，与D选项相反，所以D选项错误。
2.将不等式$1 - 2x ＜ 3$进行移项：
$-2x ＜ 3-1$
$-2x ＜ 2$
$x ＞ -1$
所以，C选项正确。
3.A选项：根据不等式的基本性质1，$a + c ＞ b + c$，所以A选项正确。
B选项：根据不等式的基本性质1和不等式两边同时乘以-1，不等号方向改变，可以得到$c - a ＜ c - b$，所以B选项正确。
C选项：因为$c^2 ＞ 0$，根据不等式的基本性质2，可以得到$\frac{a}{c^2} ＞ \frac{b}{c^2}$，所以C选项正确。
D选项：当$0＞a ＞ b$时，因为$a,b$都是负数，乘以$a$或者$b$后,不等号方向改变，得到$a^2 ＜ ab$，又因为$b$是负数，所以$ab ＜ b^2$不成立，应为$ab ＞ b^2$，即$a^2 ＜ ab ＞ b^2$，所以D选项不一定正确。
4.将不等式$2x - 4 ≤ 0$进行移项：
$2x ≤ 4$
$x ≤ 2$
5.(1)根据不等式的基本性质1，可以在不等式两边同时加7：
$x ＞ 33$
(2)根据不等式的基本性质2，可以在不等式的两边同时乘以$\frac{3}{2}$：
$x ＞ 75$
(3)根据不等式的基本性质3，可以在不等式的两边同时除以-4，不等号方向改变：
$x ＜ -\frac{3}{4}$
6.将不等式$5x - 2 ＜ 6x + 1$进行移项：
$x ＞ -3$
所以，$x$的最小正整数解是$x = 1$。
将$x = 1$代入方程$3x - \frac{3}{2}ax = 6$，得到：
$3 - \frac{3}{2}a = 6$
$a = -2$
7.原来的两位数为$10b + a$，新的两位数为$10a + b$。
根据题意，有$10a + b ＞ 10b + a$。
移项得：
$9a ＞ 9b +0$
$a ＞ b$
所以，当$a=2,b=1$时，满足要求。（答案不唯一）
A选项：$m - 2 ＞ n - 2$，所以A选项错误。
B选项：不等式两边同时乘以-2（负数），不等号方向改变，即$-2m ＜ -2n$，再在两边同时加1，得到$1 - 2m ＜ 1 - 2n$，所以B选项正确。
C选项：不等式两边同时乘以$-\frac{1}{2}$（负数），不等号方向改变，即$-\frac{1}{2}m ＜ -\frac{1}{2}n$，所以C选项错误。
D选项：$n - m ＜ 0$，与D选项相反，所以D选项错误。
2.将不等式$1 - 2x ＜ 3$进行移项：
$-2x ＜ 3-1$
$-2x ＜ 2$
$x ＞ -1$
所以，C选项正确。
3.A选项：根据不等式的基本性质1，$a + c ＞ b + c$，所以A选项正确。
B选项：根据不等式的基本性质1和不等式两边同时乘以-1，不等号方向改变，可以得到$c - a ＜ c - b$，所以B选项正确。
C选项：因为$c^2 ＞ 0$，根据不等式的基本性质2，可以得到$\frac{a}{c^2} ＞ \frac{b}{c^2}$，所以C选项正确。
D选项：当$0＞a ＞ b$时，因为$a,b$都是负数，乘以$a$或者$b$后,不等号方向改变，得到$a^2 ＜ ab$，又因为$b$是负数，所以$ab ＜ b^2$不成立，应为$ab ＞ b^2$，即$a^2 ＜ ab ＞ b^2$，所以D选项不一定正确。
4.将不等式$2x - 4 ≤ 0$进行移项：
$2x ≤ 4$
$x ≤ 2$
5.(1)根据不等式的基本性质1，可以在不等式两边同时加7：
$x ＞ 33$
(2)根据不等式的基本性质2，可以在不等式的两边同时乘以$\frac{3}{2}$：
$x ＞ 75$
(3)根据不等式的基本性质3，可以在不等式的两边同时除以-4，不等号方向改变：
$x ＜ -\frac{3}{4}$
6.将不等式$5x - 2 ＜ 6x + 1$进行移项：
$x ＞ -3$
所以，$x$的最小正整数解是$x = 1$。
将$x = 1$代入方程$3x - \frac{3}{2}ax = 6$，得到：
$3 - \frac{3}{2}a = 6$
$a = -2$
7.原来的两位数为$10b + a$，新的两位数为$10a + b$。
根据题意，有$10a + b ＞ 10b + a$。
移项得：
$9a ＞ 9b +0$
$a ＞ b$
所以，当$a=2,b=1$时，满足要求。（答案不唯一）
