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28. “营养早餐工程”惠及千家万户，家住南部山区的小刚也是受益者之一，每周都能喝到政府发给的牛奶。在学习了密度知识以后，小刚利用托盘天平、烧杯和水测量牛奶的密度，他进行了如下操作：
（1）小刚观察到牛奶包装盒上标有 250 mL 字样。
（2）将盒装牛奶放在已经调节好的天平左盘里，再向右盘中加减砝码后，发现天平仍然不平衡，小刚接下来应该进行的操作是。
(3)天平平衡后，观察右盘中砝码质量和游码在标尺上的位置如图 6 - 15 甲所示。然后小刚将盒中的牛奶倒入烧杯中，用天平测得牛奶包装盒的质量为 7 g，则牛奶的密度为。
(4)小刚用这种方法测出的牛奶密度和真实值相比(选填“偏大”或“偏小”)。
（5）小刚在学习完浮力知识后，认识了一种测量液体密度的仪器——密度计（如图乙所示），将其放入液体中，当它竖立静止时，与液面相交的读数即为液体密度。小刚受到启发，用细沙、水、刻度尺、记号笔、烧杯和平底玻璃管（数量不限），设计实验并完成了测量，请你帮助小刚利用上述器材完成测量牛奶密度的实验。
①写出具体的操作步骤（可以结合简图用文字说明，测量物理量用字母表示）。
②根据上述步骤中所测物理量，写出牛奶密度的表达式推导过程（有必要的文字说明）。
③牛奶密度的表达式ρ（用已知量测量量表示，比如水的密度用ρ水表示）。
（1）小刚观察到牛奶包装盒上标有 250 mL 字样。
（2）将盒装牛奶放在已经调节好的天平左盘里，再向右盘中加减砝码后，发现天平仍然不平衡，小刚接下来应该进行的操作是。
(3)天平平衡后，观察右盘中砝码质量和游码在标尺上的位置如图 6 - 15 甲所示。然后小刚将盒中的牛奶倒入烧杯中，用天平测得牛奶包装盒的质量为 7 g，则牛奶的密度为。
(4)小刚用这种方法测出的牛奶密度和真实值相比(选填“偏大”或“偏小”)。
（5）小刚在学习完浮力知识后，认识了一种测量液体密度的仪器——密度计（如图乙所示），将其放入液体中，当它竖立静止时，与液面相交的读数即为液体密度。小刚受到启发，用细沙、水、刻度尺、记号笔、烧杯和平底玻璃管（数量不限），设计实验并完成了测量，请你帮助小刚利用上述器材完成测量牛奶密度的实验。
①写出具体的操作步骤（可以结合简图用文字说明，测量物理量用字母表示）。
②根据上述步骤中所测物理量，写出牛奶密度的表达式推导过程（有必要的文字说明）。
③牛奶密度的表达式ρ（用已知量测量量表示，比如水的密度用ρ水表示）。
答案
取下右盘中的小砝码并调节游码
使天平平衡
$0.9\ \mathrm{g/cm}^3$
偏小
a. 用平底玻璃管装适量的细沙，将装有细沙的平底玻璃管放入盛水的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与水面相平处标上记号，并用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{1}$；
b. 将装有细沙的平底玻璃管放入盛牛奶的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与牛奶表面相平处记上记号，用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{2}$。
解：平底玻璃管在水中和牛奶中均漂浮，根据漂浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{\mathrm{水浮}}=G$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=G$，因此$F_{\mathrm{水浮}}=F_{\mathrm{牛奶浮}}$。
由阿基米德原理，$F_{\mathrm{水浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$，
所以$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$。
设平底玻璃管的底面积为S，则$V_{\mathrm{排水}}=Sh_{1}$，$V_{\mathrm{排牛奶}}=Sh_{2}$，
代入得：$\rho_{\mathrm{水}}gSh_{1}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gSh_{2}$，
约去gS，化简得$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\rho_{\mathrm{水}}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{\mathrm{水}}$
使天平平衡
$0.9\ \mathrm{g/cm}^3$
偏小
a. 用平底玻璃管装适量的细沙，将装有细沙的平底玻璃管放入盛水的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与水面相平处标上记号，并用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{1}$；
b. 将装有细沙的平底玻璃管放入盛牛奶的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与牛奶表面相平处记上记号，用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{2}$。
解：平底玻璃管在水中和牛奶中均漂浮，根据漂浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{\mathrm{水浮}}=G$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=G$，因此$F_{\mathrm{水浮}}=F_{\mathrm{牛奶浮}}$。
由阿基米德原理，$F_{\mathrm{水浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$，
所以$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$。
设平底玻璃管的底面积为S，则$V_{\mathrm{排水}}=Sh_{1}$，$V_{\mathrm{排牛奶}}=Sh_{2}$，
代入得：$\rho_{\mathrm{水}}gSh_{1}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gSh_{2}$，
约去gS，化简得$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\rho_{\mathrm{水}}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{\mathrm{水}}$
解析
【解析】
(2) 天平加减砝码后仍不平衡，此时应取下右盘中的小砝码并调节游码，使天平平衡。
(3) ①计算牛奶和包装盒的总质量：$m_{总}=100\mathrm{g}+100\mathrm{g}+20\mathrm{g}+10\mathrm{g}+2\mathrm{g}=232\mathrm{g}$
②牛奶的质量：$m=232\mathrm{g}-7\mathrm{g}=225\mathrm{g}$
③牛奶的体积：$V=250\mathrm{mL}=250\mathrm{cm}^3$
④牛奶的密度：$\rho=\frac{m}{V}=\frac{225\mathrm{g}}{250\mathrm{cm}^3}=0.9\mathrm{g/cm}^3$
(4) 由于盒内残留部分牛奶，导致测得的包装盒质量偏大，计算出的牛奶质量偏小，根据$\rho=\frac{m}{V}$，可知测量的牛奶密度偏小。
(5) ①操作步骤：
a. 用平底玻璃管装适量的细沙，将装有细沙的平底玻璃管放入盛水的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与水面相平处标上记号，并用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{1}$；
b. 将装有细沙的平底玻璃管放入盛牛奶的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与牛奶表面相平处记上记号，用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{2}$。
②推导过程：
平底玻璃管在水中和牛奶中均漂浮，根据漂浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{\mathrm{水浮}}=G$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=G$，因此$F_{\mathrm{水浮}}=F_{\mathrm{牛奶浮}}$。
由阿基米德原理，$F_{\mathrm{水浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$，
所以$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$。
设平底玻璃管的底面积为$S$，则$V_{\mathrm{排水}}=Sh_{1}$，$V_{\mathrm{排牛奶}}=Sh_{2}$，
代入得：$\rho_{\mathrm{水}}gSh_{1}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gSh_{2}$，
约去$gS$，化简得$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\rho_{\mathrm{水}}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
【答案】
(2) 取下右盘中的小砝码并调节游码，使天平平衡
(3) $\boldsymbol{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}$
(4) 偏小
(5) ①操作步骤：
a. 用平底玻璃管装适量的细沙，将装有细沙的平底玻璃管放入盛水的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与水面相平处标上记号，并用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{1}$；
b. 将装有细沙的平底玻璃管放入盛牛奶的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与牛奶表面相平处记上记号，用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{2}$。
②推导过程：
平底玻璃管在水中和牛奶中均漂浮，根据漂浮条件，$F_{\mathrm{水浮}}=G$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=G$，故$F_{\mathrm{水浮}}=F_{\mathrm{牛奶浮}}$。
由阿基米德原理：$F_{\mathrm{水浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$，
则$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$。
设玻璃管底面积为$S$，$V_{\mathrm{排水}}=Sh_{1}$，$V_{\mathrm{排牛奶}}=Sh_{2}$，代入得：
$\rho_{\mathrm{水}}gSh_{1}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gSh_{2}$，
约去$gS$得：$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{\mathrm{水}}$。
③$\boldsymbol{\rho_{\mathrm{牛奶}}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{\mathrm{水}}}$
【知识点】
天平的使用、密度的计算、漂浮条件与阿基米德原理的应用
【点评】
本题结合实际情景考查密度的测量，涉及天平的正确操作、密度公式的应用以及利用漂浮法测液体密度，注重知识的综合应用与实验探究能力的考查。
【难度系数】
0.6
(2) 天平加减砝码后仍不平衡，此时应取下右盘中的小砝码并调节游码，使天平平衡。
(3) ①计算牛奶和包装盒的总质量：$m_{总}=100\mathrm{g}+100\mathrm{g}+20\mathrm{g}+10\mathrm{g}+2\mathrm{g}=232\mathrm{g}$
②牛奶的质量：$m=232\mathrm{g}-7\mathrm{g}=225\mathrm{g}$
③牛奶的体积：$V=250\mathrm{mL}=250\mathrm{cm}^3$
④牛奶的密度：$\rho=\frac{m}{V}=\frac{225\mathrm{g}}{250\mathrm{cm}^3}=0.9\mathrm{g/cm}^3$
(4) 由于盒内残留部分牛奶，导致测得的包装盒质量偏大，计算出的牛奶质量偏小，根据$\rho=\frac{m}{V}$，可知测量的牛奶密度偏小。
(5) ①操作步骤：
a. 用平底玻璃管装适量的细沙，将装有细沙的平底玻璃管放入盛水的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与水面相平处标上记号，并用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{1}$；
b. 将装有细沙的平底玻璃管放入盛牛奶的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与牛奶表面相平处记上记号，用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{2}$。
②推导过程：
平底玻璃管在水中和牛奶中均漂浮，根据漂浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{\mathrm{水浮}}=G$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=G$，因此$F_{\mathrm{水浮}}=F_{\mathrm{牛奶浮}}$。
由阿基米德原理，$F_{\mathrm{水浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$，
所以$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$。
设平底玻璃管的底面积为$S$，则$V_{\mathrm{排水}}=Sh_{1}$，$V_{\mathrm{排牛奶}}=Sh_{2}$，
代入得：$\rho_{\mathrm{水}}gSh_{1}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gSh_{2}$，
约去$gS$，化简得$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\rho_{\mathrm{水}}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
【答案】
(2) 取下右盘中的小砝码并调节游码，使天平平衡
(3) $\boldsymbol{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}$
(4) 偏小
(5) ①操作步骤：
a. 用平底玻璃管装适量的细沙，将装有细沙的平底玻璃管放入盛水的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与水面相平处标上记号，并用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{1}$；
b. 将装有细沙的平底玻璃管放入盛牛奶的烧杯中，竖立静止后，在玻璃管与牛奶表面相平处记上记号，用刻度尺测得记号到平底玻璃管底的距离为$h_{2}$。
②推导过程：
平底玻璃管在水中和牛奶中均漂浮，根据漂浮条件，$F_{\mathrm{水浮}}=G$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=G$，故$F_{\mathrm{水浮}}=F_{\mathrm{牛奶浮}}$。
由阿基米德原理：$F_{\mathrm{水浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}$，$F_{\mathrm{牛奶浮}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$，
则$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排水}}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gV_{\mathrm{排牛奶}}$。
设玻璃管底面积为$S$，$V_{\mathrm{排水}}=Sh_{1}$，$V_{\mathrm{排牛奶}}=Sh_{2}$，代入得：
$\rho_{\mathrm{水}}gSh_{1}=\rho_{\mathrm{牛奶}}gSh_{2}$，
约去$gS$得：$\rho_{\mathrm{牛奶}}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{\mathrm{水}}$。
③$\boldsymbol{\rho_{\mathrm{牛奶}}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{\mathrm{水}}}$
【知识点】
天平的使用、密度的计算、漂浮条件与阿基米德原理的应用
【点评】
本题结合实际情景考查密度的测量，涉及天平的正确操作、密度公式的应用以及利用漂浮法测液体密度，注重知识的综合应用与实验探究能力的考查。
【难度系数】
0.6
