2. 确定立体图形表面上的最短路径问题,关键是将立体图形展开,转化为平面图形,根据“两点之间线段最短”和勾股定理来解决.
思考
①在数轴上作出表示无理数$\sqrt{n}$($n$是整数)的点可以转化为作出长为多少的线段的问题? ②圆柱的侧面展开图是什么图形?
填空
(1)两直角边长分别为正整数和的直角三角形的斜边长为$\sqrt{13}$.
(2)如图,高为$2$,底面周长为$4$的圆柱中,$A,B$是两底面上相对两点,则$A,B$两点在该圆柱侧面展开图中的距离为.

（1）2；3（2）2√2

思考①：转化为作出长为√n的线段问题。②：圆柱侧面展开图是矩形。
（1）设两直角边为a、b，由勾股定理a²+b²=13，正整数解为a=2，b=3（或a=3，b=2）。
（2）圆柱侧面展开图为矩形，长=底面周长=4，宽=高=2。A、B在展开图中水平距离为底面周长一半=2，垂直距离=高=2，距离=√(2²+2²)=2√2。

例1 在数轴上作表示$\sqrt{17},\sqrt{15}$的点.

作表示$\sqrt{17}$的点：
1. 在数轴上，以原点$O$为起点，在正半轴上取$OA=4$，过点$A$作$OA$的垂线$l$；
2. 在垂线$l$上取$AB=1$，连接$OB$；
3. 以$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，交数轴正半轴于点$C$，则点$C$表示$\sqrt{17}$。
作表示$\sqrt{15}$的点：
1. 在数轴上，以原点$O$为起点，在正半轴上取$OD=4$；
2. 以$D$为圆心，$1$为半径画弧，交以$O$为圆心、$OD$为半径的圆于点$E$（或$E'$）；
3. 连接$OE$，则$OE=\sqrt{15}$；
4. 以$O$为圆心，$OE$长为半径画弧，交数轴正半轴于点$F$，则点$F$表示$\sqrt{15}$。

变式训练 如图,正方形$OABC$的边$OC$落在数轴上,$OC = 2$,以$O$为圆心,$OB$长为半径作圆弧与数轴交于点$D$,则点$D$表示的数是()

A.$2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$

B

∵四边形OABC是正方形，OC=2，
∴OA=OC=2，∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∵以O为圆心，OB长为半径作圆弧与数轴交于点D，
∴OD=OB=2$\sqrt{2}$，
又
∵点D在数轴负半轴，
∴点D表示的数是$-2\sqrt{2}$.

例2 如图,长方体的长为$15$,宽为$10$,高为$20$,点$B$在棱上,到顶点$C$的距离为$5$.一只蚂蚁要沿着长方体的表面从顶点$A$爬到点$B$,求蚂蚁爬行的最短路程.

$5\sqrt{34}$

解：
长方体长15，宽10，高20，点B在棱上且到顶点C距离为5，故B到该棱另一端点距离为20-5=15（设该棱为高所在棱）。蚂蚁从A到B需沿表面爬行，展开表面分以下情况：
情况一：展开底面与侧面
将底面（长15，宽10）和侧面（高15）展开为平面，此时直角边分别为15+10=25和15，距离为：
$\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{625 + 225} = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}$
情况二：展开侧面与侧面
将两个侧面展开为平面，直角边分别为15+15=30和10，距离为：
$\sqrt{30^2 + 10^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$
比较得$5\sqrt{34} ＜ 10\sqrt{10}$，故最短路程为$5\sqrt{34}$。