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变式训练 如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为$12cm$,底面周长为$10cm$.在容器内壁离容器底部$3cm$的点$B$处有一饭粒.此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿$3cm$的点$A$处(正对$B$点的另一侧),则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是()
A.$13cm$
B.$2\sqrt{61}cm$
C.$\sqrt{61}cm$
D.$2\sqrt{34}cm$
A.$13cm$
B.$2\sqrt{61}cm$
C.$\sqrt{61}cm$
D.$2\sqrt{34}cm$
答案
A
解析
将圆柱形容器侧面展开为长方形，长为底面周长10cm，宽为高12cm。蚂蚁在容器外壁离上沿3cm处（点A），饭粒在容器内壁离底部3cm处（点B），且A、B正对另一侧，水平距离为底面周长的一半，即5cm。
由于蚂蚁在外壁，饭粒在内壁，需将外壁的点A对称到内壁，对称后A与B的垂直距离为容器高度12cm（蚂蚁离上沿3cm+饭粒离底部3cm=6cm，12-6=6cm错误，应为蚂蚁离底部9cm与饭粒离底部3cm的高度差9-3=6cm，水平距离5cm，由勾股定理得√(5²+12²)=13cm）。
最短路程为13cm。
由于蚂蚁在外壁，饭粒在内壁，需将外壁的点A对称到内壁，对称后A与B的垂直距离为容器高度12cm（蚂蚁离上沿3cm+饭粒离底部3cm=6cm，12-6=6cm错误，应为蚂蚁离底部9cm与饭粒离底部3cm的高度差9-3=6cm，水平距离5cm，由勾股定理得√(5²+12²)=13cm）。
最短路程为13cm。
1. 如图,公园里有一块长方形花圃.有少数人为了避开拐角$∠ ACB$,走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”$AB$.他们仅仅少走了()步路(设$2$步为$1m$),却踩伤了花草.
A.$4$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
A.$4$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案
D
解析
在Rt△ACB中，AC=6m，BC=8m，由勾股定理得AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10$m。少走的路程为AC+BC-AB=6+8-10=4m，因2步为1m，故少走4×2=8步。
2. 如图,数轴上的点$A$表示的数是$-2$,点$B$表示的数是$1$,$BC$与数轴垂直且$BC = 2$,以点$A$为圆心,$AC$长为半径画弧交数轴于点$D$,则点$D$表示的数为()
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{13}+2$
C.$\sqrt{13}-2$
D.$2$
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{13}+2$
C.$\sqrt{13}-2$
D.$2$
答案
C
解析
∵点A表示-2，点B表示1，∴AB=1-(-2)=3。∵BC⊥数轴，BC=2，∴在Rt△ABC中，AC=√(AB²+BC²)=√(3²+2²)=√13。∵以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于D，∴AD=AC=√13。设点D表示的数为x，∵点A表示-2，∴AD=|x-(-2)|=|x+2|=√13。∵点D在点A右侧，∴x+2=√13，x=√13-2。
3. 如图,长方体的底面边长分别为$4cm$和$2cm$,高为$5cm$.一只蚂蚁由$P$点出发经过四个侧面爬行一圈到达$Q$点,它爬行的最短路径长为$cm$.
答案
13
解析
将长方体四个侧面展开成平面，展开后长方形的长为底面周长：2×(4+2)=12cm，宽为长方体的高5cm。蚂蚁爬行最短路径为该长方形的对角线，由勾股定理得：√(12²+5²)=13cm。
4. 如图,在高$3m$,楼梯倾角$∠ ABC$为$30^{\circ}$的楼梯表面铺地毯,则地毯长度为$m$.
答案
3+3√3
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=3m，∠ACB=90°。
因为∠ABC=30°，所以AB=2AC=6m（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
由勾股定理得：BC²=AB²-AC²=6²-3²=27，BC=3√3 m。
地毯长度=AC+BC=3+3√3 m。
因为∠ABC=30°，所以AB=2AC=6m（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
由勾股定理得：BC²=AB²-AC²=6²-3²=27，BC=3√3 m。
地毯长度=AC+BC=3+3√3 m。
5. 如图,水池中离岸边$D$点$1.5$米的$C$处直立着一根芦苇,露出水面部分$BC$的长是$0.5$米.把芦苇拉到岸边,它的顶端$B$恰好落在$D$点.求池中水的深度.
答案
设池中水的深度为$ x $米，则芦苇的总长度为$ (x + 0.5) $米。
由题意知，$ CD = 1.5 $米，$ AC = x $米，$ AD = x + 0.5 $米，且$ △ ACD $为直角三角形，其中$ ∠ ACD = 90° $。
根据勾股定理：$ AC^2 + CD^2 = AD^2 $，即：
$x^2 + 1.5^2 = (x + 0.5)^2$
展开等式右边：$ (x + 0.5)^2 = x^2 + x + 0.25 $
代入方程：
$x^2 + 2.25 = x^2 + x + 0.25$
化简得：
$2.25 = x + 0.25$
解得：
$x = 2$
答：池中水的深度为2米。
由题意知，$ CD = 1.5 $米，$ AC = x $米，$ AD = x + 0.5 $米，且$ △ ACD $为直角三角形，其中$ ∠ ACD = 90° $。
根据勾股定理：$ AC^2 + CD^2 = AD^2 $，即：
$x^2 + 1.5^2 = (x + 0.5)^2$
展开等式右边：$ (x + 0.5)^2 = x^2 + x + 0.25 $
代入方程：
$x^2 + 2.25 = x^2 + x + 0.25$
化简得：
$2.25 = x + 0.25$
解得：
$x = 2$
答：池中水的深度为2米。
6. 如图,圆柱底面半径为$\frac{4}{π}cm$,高为$7cm$,点$A,B$分别是圆柱两底面圆周上的点,且$A,B$在同一条母线上,用一根棉线从点$A$顺着圆柱侧面绕$3$圈到点$B$,则这根棉线的长度最短为()
A.$24cm$
B.$25cm$
C.$7cm$
D.$21cm$
A.$24cm$
B.$25cm$
C.$7cm$
D.$21cm$
答案
B
解析
圆柱底面周长为$2πr=2π×\frac{4}{π}=8\ cm$。将圆柱侧面展开，绕3圈相当于水平方向长度为$3×8=24\ cm$，垂直方向高度为圆柱高7 cm。由勾股定理，棉线最短长度为$\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25\ cm$。
