2. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”. 书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长、短. 横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出. 问户高、广、邪各几何？”大意为(如图)：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等. 问门高、宽和对角线的长各是多少？设门的对角线的长为x尺，由题意可列出方程.

$(x - 2)^2 + (x - 4)^2 = x^2$

设门的对角线长为$x$尺，则竿长为$x$尺。
由题意得：门宽为$(x - 4)$尺，门高为$(x - 2)$尺。
根据勾股定理，门高、宽与对角线满足：
$(x - 2)^2 + (x - 4)^2 = x^2$

3. 如图，在$△ ABC$中，AC = BC，$∠ C = 90^{\circ}$，AD是$△ ABC$的角平分线，DE $⊥$ AB，垂足为E. 已知BD = 4$\sqrt{2}$ cm，则AC =.

4+4√2

设AC=BC=x cm。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=45°。
∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE（角平分线性质）。
∵DE⊥AB，∠B=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE=BE。
在Rt△BDE中，BD=4√2，由勾股定理得DE²+BE²=BD²，又DE=BE，∴2DE²=(4√2)²，解得DE=4，∴CD=DE=4。
∵BC=CD+BD，∴x=4 + 4√2。
又∵△ACD≌△AED（AAS），∴AE=AC=x。
AB=AE+BE=x+DE=x+4，且AB=√(AC²+BC²)=x√2，∴x√2=x+4，解得x=4(√2+1)=4+4√2。

4. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点$C'$处，折痕为EF.
(1) 求证：BE = BF；
(2) 如果AB = 6，AD = 10，求$△ BEF$的面积.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF=∠BFE（内错角相等）。
由折叠性质得：∠DEF=∠BEF，
∴ ∠BEF=∠BFE，
∴ BE=BF（等角对等边）。
(2) 解：
设AE=x，则ED=AD-AE=10-x。
由折叠性质得：ED=BE，
∴ BE=10-x。
在Rt△ABE中，AB=6，AE=x，BE=10-x，
由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，即6²+x²=(10-x)²，
解得x=16/5，
∴ BE=10-16/5=34/5。
由(1)知BE=BF，
∴ BF=34/5。
△BEF的面积=1/2×BF×AB=1/2×34/5×6=102/5。
答案：(2) 102/5

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，∴ AD//BC，∴ ∠DEF=∠BFE（内错角相等）。
由折叠性质得：∠DEF=∠BEF，∴ ∠BEF=∠BFE，∴ BE=BF（等角对等边）。
(2) 解：
设AE=x，则ED=AD-AE=10-x。
由折叠性质得：ED=BE，∴ BE=10-x。
在Rt△ABE中，AB=6，AE=x，BE=10-x，
由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，即6²+x²=(10-x)²，
解得x=16/5，∴ BE=10-16/5=34/5。
由(1)知BE=BF，∴ BF=34/5。
△BEF的面积=1/2×BF×AB=1/2×34/5×6=102/5。

5. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处. 若AB = 8，DE = 5，则折痕AE的长为.

【解析】：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°。
由折叠性质得：AD=AF，DE=EF=5。
∵DE=5，
∴EC=CD-DE=8-5=3。
设AD=AF=x，BF=y，则FC=BC-BF=x-y。
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，即8²+y²=x² ①。
在Rt△EFC中，EC²+FC²=EF²，即3²+(x-y)²=5²，解得x-y=4，即x=y+4 ②。
将②代入①：64+y²=(y+4)²，解得y=6，
∴x=10，即AD=10。
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=10²+5²=125，
∴AE=5√5。
【答案】：5√5

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°。
由折叠性质得：AD=AF，DE=EF=5。
∵DE=5，∴EC=CD-DE=8-5=3。
设AD=AF=x，BF=y，则FC=BC-BF=x-y。
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，即8²+y²=x² ①。
在Rt△EFC中，EC²+FC²=EF²，即3²+(x-y)²=5²，解得x-y=4，即x=y+4 ②。
将②代入①：64+y²=(y+4)²，解得y=6，∴x=10，即AD=10。
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=10²+5²=125，∴AE=5√5。

6. 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，AC = 6，BC = 8.

(1) 如图1，把$△ ABC$沿直线DE折叠，使点B与点A重合，求BE的长；
(2) 如图2，把$△ ABC$沿直线AF折叠，使点C落在AB边上的点G处，请直接写出BF的长.

(1)
已知$DE$把$△ ABC$折叠，使点$B$与点$A$重合，则$AE = BE$，设$BE = x$，则$AE=x$，$CE = 8 - x$。
在$Rt△ ACE$中，$AC = 6$，根据勾股定理$AC^{2}+CE^{2}=AE^{2}$，可得：
$6^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$
$36+64-16x+x^{2}=x^{2}$
$100-16x = 0$
$16x = 100$
解得$x=\frac{25}{4}$，即$BE=\frac{25}{4}$。
(2)
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
由折叠可知$AG = AC = 6$，$FG = FC$，$∠ AGF=∠ C = 90^{\circ}$，则$BG=AB - AG=10 - 6 = 4$。
设$BF = y$，则$FC = 8 - y$，所以$FG = 8 - y$。
在$Rt△ BGF$中，根据勾股定理$BG^{2}+FG^{2}=BF^{2}$，可得：
$4^{2}+(8 - y)^{2}=y^{2}$
$16+64-16y+y^{2}=y^{2}$
$80-16y = 0$
$16y = 80$
解得$y = 5$，即$BF = 5$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{25}{4}$；(2)$5$。

1. 在数轴上作出表示无理数的点:利用勾股定理,可以作出长为$\sqrt{n}$($n$是整数)的线段,进而在数轴上作出表示$\sqrt{n}$的点,其步骤如下:
(1)把$n$转化为两个正整数$a,b$的平方和,即$\sqrt{n}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
(2)以$O$为圆心,在数轴上截取$OA = a$.
(3)过点$A$作直线$l$垂直于$OA$,在$l$上截取$AB = b$.
(4)连接$OB$,根据勾股定理得$OB=\sqrt{n}$.
(5)以原点$O$为圆心,以$OB$长为半径作弧,交数轴正半轴于一点,该点表示的数就是.所作弧与数轴负半轴的交点表示的数就是.

√n；-√n

根据步骤，以原点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴的点表示的数为OB的长度，即√n；交负半轴的点表示的数为-√n。