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右图是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框. 现有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长4 m，宽2.4 m；③号木板长3 m，宽2.8 m. 可以从这扇门通过的木板是号.
右图是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框. 现有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长4 m，宽2.4 m；③号木板长3 m，宽2.8 m. 可以从这扇门通过的木板是号.
答案
②
解析
门框为长方形，其对角线长为$\sqrt{1.5^2 + 2^2} = 2.5$m。木板能否通过取决于其最短边是否小于等于对角线长。①号木板宽2.7m＞2.5m；②号木板宽2.4m＜2.5m；③号木板宽2.8m＞2.5m。故可通过的是②号。
例1
如图，2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.
(1) 梯子的底端B距墙脚O多少米？
(2) 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m，那么梯子的底端B也外移0.4 m吗？
如图，2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.
(1) 梯子的底端B距墙脚O多少米？
(2) 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m，那么梯子的底端B也外移0.4 m吗？
答案
(1) 在直角三角形 $AOB$ 中，$AB = 2.5 \, \mathrm{m}$，$AO = 2.4 \, \mathrm{m}$。
由勾股定理，$BO = \sqrt{AB^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2.5^{2} - 2.4^{2}} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7 \, \mathrm{m}$。
答：梯子的底端 $B$ 距墙脚 $O$ 为 $0.7 \, \mathrm{m}$。
(2) 梯子顶端 $A$ 下滑 $0.4 \, \mathrm{m}$ 后，$A'O = AO - 0.4 = 2 \, \mathrm{m}$（因为 $AO$ 原先为 $2.4 \, \mathrm{m}$）。
在直角三角形 $A'OB'$ 中，$A'B' = AB = 2.5 \, \mathrm{m}$，$A'O = 2 \, \mathrm{m}$。
由勾股定理，$B'O = \sqrt{A'B'^{2} - A'O^{2}} = \sqrt{2.5^{2} - 2^{2}} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = 1.5 \, \mathrm{m}$。
梯子底端 $B$ 外移的距离为 $B'B = B'O - BO = 1.5 - 0.7 = 0.8 \, \mathrm{m}$。
答：梯子的底端 $B$ 外移了 $0.8 \, \mathrm{m}$，不等于 $0.4 \, \mathrm{m}$。
由勾股定理，$BO = \sqrt{AB^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2.5^{2} - 2.4^{2}} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7 \, \mathrm{m}$。
答：梯子的底端 $B$ 距墙脚 $O$ 为 $0.7 \, \mathrm{m}$。
(2) 梯子顶端 $A$ 下滑 $0.4 \, \mathrm{m}$ 后，$A'O = AO - 0.4 = 2 \, \mathrm{m}$（因为 $AO$ 原先为 $2.4 \, \mathrm{m}$）。
在直角三角形 $A'OB'$ 中，$A'B' = AB = 2.5 \, \mathrm{m}$，$A'O = 2 \, \mathrm{m}$。
由勾股定理，$B'O = \sqrt{A'B'^{2} - A'O^{2}} = \sqrt{2.5^{2} - 2^{2}} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = 1.5 \, \mathrm{m}$。
梯子底端 $B$ 外移的距离为 $B'B = B'O - BO = 1.5 - 0.7 = 0.8 \, \mathrm{m}$。
答：梯子的底端 $B$ 外移了 $0.8 \, \mathrm{m}$，不等于 $0.4 \, \mathrm{m}$。
如图，巡逻船巡逻完毕. 在离水面高度为5 m的岸上C处，有人用绳子拉船靠岸并固定船只. 开始时绳子BC的长为13 m，此人以0.5 m/s的速度收绳. 10 s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了多少？（假设绳子都是直的，结果保留根号）
答案
在$Rt △ ABC$中，$AC = 5m$，$BC = 13m$.
由勾股定理 $AB = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}}$，
得$AB=\sqrt{13^{2} - 5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144} = 12(m)$。
收绳速度为$0.5m/s$，收绳时间为$10s$。
所以收绳长度为$0.5×10 = 5(m)$。
则$CD=13 - 5=8(m)$。
在$Rt △ ADC$中，由勾股定理$AD=\sqrt{CD^{2}-AC^{2}}$，
得$AD =\sqrt{8^{2} - 5^{2}}=\sqrt{64 - 25}=\sqrt{39}(m)$。
$BD=AB - AD$，把$AB = 12m$，$AD=\sqrt{39}m$代入得：
$BD = 12-\sqrt{39}(m)$。
综上，船向岸边移动了$(12 - \sqrt{39})m$。
由勾股定理 $AB = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}}$，
得$AB=\sqrt{13^{2} - 5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144} = 12(m)$。
收绳速度为$0.5m/s$，收绳时间为$10s$。
所以收绳长度为$0.5×10 = 5(m)$。
则$CD=13 - 5=8(m)$。
在$Rt △ ADC$中，由勾股定理$AD=\sqrt{CD^{2}-AC^{2}}$，
得$AD =\sqrt{8^{2} - 5^{2}}=\sqrt{64 - 25}=\sqrt{39}(m)$。
$BD=AB - AD$，把$AB = 12m$，$AD=\sqrt{39}m$代入得：
$BD = 12-\sqrt{39}(m)$。
综上，船向岸边移动了$(12 - \sqrt{39})m$。
例2
如图，在长方形ABCD中，AB = 8 cm，BC = 10 cm. 把长方形的边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，求CE的长.
名师导引
在直角三角形中，如果三边中有两边或者三边能用同一个未知数的表达式表示时，可利用$a^{2}+b^{2}=c^{2}$建立方程求解.
如图，在长方形ABCD中，AB = 8 cm，BC = 10 cm. 把长方形的边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，求CE的长.
名师导引
在直角三角形中，如果三边中有两边或者三边能用同一个未知数的表达式表示时，可利用$a^{2}+b^{2}=c^{2}$建立方程求解.
答案
∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，AB=CD=8cm，∠B=∠C=90°。
由折叠性质得：AF=AD=10cm，DE=EF。
在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=10cm，根据勾股定理：AB²+BF²=AF²，即8²+BF²=10²，解得BF=6cm。
∴FC=BC-BF=10-6=4cm。
设CE=xcm，则DE=CD-CE=(8-x)cm，∴EF=DE=(8-x)cm。
在Rt△EFC中，FC=4cm，CE=xcm，EF=(8-x)cm，根据勾股定理：FC²+CE²=EF²，即4²+x²=(8-x)²。
展开得：16+x²=64-16x+x²，化简得16=64-16x，解得x=3。
∴CE的长为3cm。
由折叠性质得：AF=AD=10cm，DE=EF。
在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=10cm，根据勾股定理：AB²+BF²=AF²，即8²+BF²=10²，解得BF=6cm。
∴FC=BC-BF=10-6=4cm。
设CE=xcm，则DE=CD-CE=(8-x)cm，∴EF=DE=(8-x)cm。
在Rt△EFC中，FC=4cm，CE=xcm，EF=(8-x)cm，根据勾股定理：FC²+CE²=EF²，即4²+x²=(8-x)²。
展开得：16+x²=64-16x+x²，化简得16=64-16x，解得x=3。
∴CE的长为3cm。
如图，把矩形纸条ABCD同时沿EF，GH折叠，B，C两点恰好落在AD边上的点P处，若$∠ FPH = 90^{\circ}$，PF = 8，PH = 6，则矩形ABCD的边BC长为.
答案
24
解析
由折叠性质得BF=PF=8，CH=PH=6。在Rt△FPH中，∠FPH=90°，PF=8，PH=6，由勾股定理得FH=√(8²+6²)=10。因为BC=BF+FH+HC，所以BC=8+10+6=24。
1. 如图，一架6.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，此时AO = 5.2 m，若梯子的顶端A沿墙下滑2.7 m，那么梯子底端B将外移()
A.2.1 m
B.3.9 m
C.2.5 m
D.2.7 m
A.2.1 m
B.3.9 m
C.2.5 m
D.2.7 m
答案
A
解析
在Rt△AOB中，AB=6.5m，AO=5.2m，由勾股定理得OB=√(AB²-AO²)=√(6.5²-5.2²)=√(42.25-27.04)=√15.21=3.9m。梯子顶端下滑2.7m后，A'O=AO-2.7=5.2-2.7=2.5m。在Rt△A'OB'中，A'B'=AB=6.5m，由勾股定理得OB'=√(A'B'²-A'O²)=√(6.5²-2.5²)=√(42.25-6.25)=√36=6m。则梯子底端外移距离BB'=OB'-OB=6-3.9=2.1m。
