19. 如图，已知菱形$ABCD$的四个顶点分别为$A(0,b)$，$B(m,m - 3)$，$D(m,m + 3)$且$m＞0$。
（1）若直线$y = 3x + 1$经过点$A$，$D$，求点$C$的坐标；
（2）已知点$E(10 - m,-m - 3)$，连接$DE$，求点$D$与点$E$的最短距离。

19. 解: (1) 由题意, 分别将 $A, D$ 两点坐标代入 $y=3 x+1$, $\therefore 3 × 0+1=b, 3 m+1=m+3. \therefore b=1, m=1. \therefore A(0,1), B(1,-2), D(1,4). \therefore B D$ 的中点为 $(\frac{1+1}{2}, \frac{-2+4}{2})$, 即 $(1,1)$. 设 $C(x, y)$, $\because$ 菱形对角线互相平分, $\therefore A C$ 的中点为 $(1,1). \therefore \frac{0+x}{2}=1, \frac{1+y}{2}=1, \therefore x=2, y=1. \therefore C(2,1)$. (2) 由题意, 得 $D E^{2}=[m-(10-m)]^{2}+[m+3-(-m-3)]^{2}=(2 m-10)^{2}+(2 m+6)^{2}=8(m-1)^{2}+128, \therefore$ 当 $m=1$ 时, $D E$ 取最小值为 $8 \sqrt{2}$.

19. 解：(1)将点$A(0,b)$代入$y = 3x + 1$，得$b=3×0 + 1=1$。
将点$D(m,m + 3)$代入$y = 3x + 1$，得$m + 3=3m + 1$，解得$m=1$。
$\therefore A(0,1)$，$B(1,-2)$，$D(1,4)$。
$BD$中点坐标为$(\frac{1 + 1}{2},\frac{-2 + 4}{2})=(1,1)$。
设$C(x,y)$，由菱形对角线互相平分，得$AC$中点为$(1,1)$。
$\therefore \frac{0 + x}{2}=1$，$\frac{1 + y}{2}=1$，解得$x=2$，$y=1$。
$\therefore C(2,1)$。
(2)$DE^{2}=[m-(10 - m)]^{2}+[(m + 3)-(-m - 3)]^{2}$
$=(2m - 10)^{2}+(2m + 6)^{2}$
$=8(m - 1)^{2}+128$。
当$m=1$时，$DE^{2}$最小为$128$，$\therefore DE$最小值为$\sqrt{128}=8\sqrt{2}$。

20. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫作和谐点。例如，图中过点$P$分别作$x$轴，$y$轴的垂线，与坐标轴围成矩形$OAPB$的周长的值与面积的值相等，则点$P$是和谐点。
(1)点$M(3,2)$和谐点(填“是”或“不是”)；
(2)若点$P(a,6)$是和谐点，则$a$的值为；
(3)若(2)中和谐点$P(a,6)$在$y = -4x + m$上，求$m$的值。

20. 解: (1) $\because$ 点 $M(3,2), \therefore$ 矩形 $O A P B$ 的周长 $=2 ×(3+2)=10$, 面积 $=3 × 2=6. \because 10 ≠ 6, \therefore$ 则点 $M(3,2)$ 不是和谐点; 故答案为: 不是. (2) 根据题意, 得 $2(|a|+6)=6|a|$, 解得: $a= \pm 3$; 故答案为: $\pm 3$. (3) $\because$ 点 $P(a, 6)$ 在直线 $y=-4 x+m$ 上, $\therefore-4 a+m=6$, 即 $m=4 a+6$, 当 $a=3$ 时, $m=18$; 当 $a=-3$ 时, $m=-6, \therefore m$ 的值为 18 或 -6.

(1) 不是
(2) $\pm 3$
(3) 解：$\because$ 点$P(a,6)$在直线$y=-4x+m$上，
$\therefore -4a + m = 6$，即$m = 4a + 6$。
当$a = 3$时，$m = 4×3 + 6 = 18$；
当$a = -3$时，$m = 4×(-3) + 6 = -6$。
$\therefore m$的值为$18$或$-6$。

21. $A$，$B$，$C$三地在同一条公路上，$C$地在$A$，$B$两地之间，且到$A$，$B$两地的路程相等。甲、乙两车分别从$A$，$B$两地出发，匀速行驶。甲车到达$C$地并停留$1$h后以原速继续前往$B$地，到达$B$地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回$C$地停止行驶，乙车经$C$地到达$A$地停止行驶。在两车行驶的过程中，甲、乙两车距$C$地的路程$y$（单位：km）与所用的时间$x$（单位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）求$A$，$B$两地的路程和甲车的速度；
（2）求乙车从$C$地到$A$地的过程中$y$关于$x$的函数解析式（不用写自变量$x$的取值范围）；
（3）出发后几小时，两车在途中距$C$地的路程之和为$180$km？

21. 解: (1) $\because$ 当 $0 \mathrm{~h}$ 时, 甲车和乙车距 $\mathrm{C}$ 地为 $180 \mathrm{~km}, \therefore$ 两地的路程为 $180+180=360(\mathrm{~km})$. 设甲车经过 $180 \mathrm{~km}$ 用了 $x \mathrm{~h}$, 则 $x+x+x+1=5.5$, 解得 $x=1.5$, 则甲车速度为 $180 ÷ 1.5=120(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$. (2) 设乙车从 $\mathrm{C}$ 地到 $\mathrm{A}$ 地的过程中 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=k x+b(k ≠ 0)$, 将 $(3,0),(6,180)$ 代入, 得 $\begin{cases}3 k+b=0, \\ 6 k+b=180,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=60, \\ b=-180,\end{cases} \therefore$ 乙车从 $\mathrm{C}$ 地到 $\mathrm{A}$ 地的过程中 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=60 x-180$. (3) 由题图可知, 分别在 3 个时间段可能两车在途中距 $\mathrm{C}$ 地路程之和为 $180 \mathrm{~km}$, ①甲车从 $\mathrm{A}$ 地到 $\mathrm{C}$ 地, 乙车从 $\mathrm{B}$ 地到 $\mathrm{C}$ 地, $-120 x+180+(-60 x+180)=180$, 解得 $x=1$; ②甲车从 $\mathrm{C}$ 地到 $\mathrm{B}$ 地, 乙车从 $\mathrm{C}$ 地到 $\mathrm{A}$ 地, $120 x-300+60 x-180=180$, 解得 $x=\frac{11}{3}$; ③甲车从 $\mathrm{B}$ 地到 $\mathrm{C}$ 地, 乙车从 $\mathrm{C}$ 地到 $\mathrm{A}$ 地, $-120 x+660+60 x-180=180$, 解得 $x=5$. 综上所述, 分别在 $1 \mathrm{~h}, \frac{11}{3} \mathrm{~h}, 5 \mathrm{~h}$ 这三个时间点, 两车在途中距 $\mathrm{C}$ 地的路程之和为 $180 \mathrm{~km}$.