20. （8分）如图，在$\triangle ABC$中，延长BC到点D，使$CD=BC$，取AB的中点F，连接FD交AC于点E.
（1）度量AE、CE，估计它们的比值；
（2）再画一个符合本题条件的图形，验证猜想，并予证明.
（第20题）
（1）度量AE、CE，估计它们的比值；
（2）再画一个符合本题条件的图形，验证猜想，并予证明.
（第20题）
答案
解：(1)经测量$AE=1.5\ \mathrm {cm}，$$CE=0.75\ \mathrm {cm}$
AE：CE=2：1
(2)作CH//AB交DF{于}H
∵CH//AB，CD=BC
∴$\frac {CH}{BF}=\frac {1}{2}$
∵点F 是AB的中点
∴$\frac {CH}{AF}=\frac {1}{2}$
∵CH//AB
∴$\frac {AE}{CE}=\frac {AF}{CH}=2$
21. （9分）如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，$CD⊥AB$，垂足为D，E是AC的中点，ED、CB的延长线交于点F.
（1）求证：$\triangle FDB\backsim \triangle FCD$；
（2）如果$AC=3$，$BC=2$，求$\triangle CBD$、$\triangle FDB$的面积.
（第21题）
（1）求证：$\triangle FDB\backsim \triangle FCD$；
（2）如果$AC=3$，$BC=2$，求$\triangle CBD$、$\triangle FDB$的面积.
（第21题）
答案
解:(2)在Rt△ACB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13} $
∴$sin∠ABC=\frac {AC}{AB}=\frac {3\sqrt {13}}{13}，$
$cos∠ABC=\frac {BC}{AB}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$
在Rt△BCD中，∵BC=2
∴$BD=BC · cos∠ABC=\frac {4\sqrt {13}}{13}，$
$CD=BC · sin∠ABC=\frac {6\sqrt {13}}{13}$
∴$S_{△CBD}=\frac 12BD×CD=\frac {12}{13}$
设$S_{△FDB}=x$
∵△FDB∽△FCD
∴$\frac {S_{△FDB}}{S_{△FCD}}=(\frac {BD}{CD})^2=\frac 49$
∴$S_{△FCD}=\frac 94x$
∴$\frac 94x-x=\frac {12}{13}$
解得$x=\frac {48}{65}$
∴$S_{△FDB}=\frac {48}{65}$
$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13} $
∴$sin∠ABC=\frac {AC}{AB}=\frac {3\sqrt {13}}{13}，$
$cos∠ABC=\frac {BC}{AB}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$
在Rt△BCD中，∵BC=2
∴$BD=BC · cos∠ABC=\frac {4\sqrt {13}}{13}，$
$CD=BC · sin∠ABC=\frac {6\sqrt {13}}{13}$
∴$S_{△CBD}=\frac 12BD×CD=\frac {12}{13}$
设$S_{△FDB}=x$
∵△FDB∽△FCD
∴$\frac {S_{△FDB}}{S_{△FCD}}=(\frac {BD}{CD})^2=\frac 49$
∴$S_{△FCD}=\frac 94x$
∴$\frac 94x-x=\frac {12}{13}$
解得$x=\frac {48}{65}$
∴$S_{△FDB}=\frac {48}{65}$
22. （9分）如图，在$\triangle ABC$中，已知边BC的长为8，BC上的高为6，$∠B$和$∠C$都为锐角.解决下列问题：
在AB上任取一点，记为点M（不与点A、B重合），过点M作$MN// BC$，交AC于点N，画$\triangle AMN$关于直线MN对称的$\triangle A'MN$.若设$\triangle AMN$中边MN上的高为x，$\triangle A'MN$与四边形BCNM重叠部分的面积为y，用含x的代数式表示y.
（第22题）
在AB上任取一点，记为点M（不与点A、B重合），过点M作$MN// BC$，交AC于点N，画$\triangle AMN$关于直线MN对称的$\triangle A'MN$.若设$\triangle AMN$中边MN上的高为x，$\triangle A'MN$与四边形BCNM重叠部分的面积为y，用含x的代数式表示y.
（第22题）
答案
解：∵BC=8，BC上的高为6
∴△ABC的面积$=\frac {1}{2}×8×6=24$
当0＜x≤3时，如图(1)，
△A'MN与四边形BCNM重叠部分的面积$y=S_{△AMN}$
∵MN//BC
∴△AMN∽△ABC
∴$\frac {y}{24}=(\frac {x}{6})^2$
∴$y=\frac {2}{3}x^2$
当3＜x＜6时，如图(2)，重叠部分为梯形MDEN
∵DE//MN
∴△AMN∽△ABC
∴MN：BC=x：6
∴MN：8=x：6
∴$MN=\frac {4}{3}x$
∵△AMN≌△A'MN
∴△A'DE的边DE的高是2x-6
∵△A'DE∽△A'MN
∴DE：MN=(2x-6)：x
∴DE：$\frac {4}{3}x=(2x-6)$：x
∴$DE=\frac {4}{3}(2x-6)$
∵梯形MNED的高是6-x
∴梯形MNED的面积$=\frac {1}{2}[\frac {4}{3}(2x-6)+\frac {4}{3}x](6-x)=-2x^2+16x-24$
∴$y=-2x^2+16x-24$
∴综上所述，$y=\begin{cases}{\dfrac {2}{3}x^2(0＜x≤3)}\\{-2x^2+16x-24(3＜x＜6)}\end{cases}$
