16. 图①、②中的两个等腰直角三角形全等，图①中的小正方形面积是9，则图②中的小正方形面积是().
A. 12
B. 8
C. 9
D. 10

(第16题)

B

三、解答题（共46分）
17. （6分）如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$∠BAD=∠CAE$，$∠ABC=∠ADE$.
（1）写出图中两对相似三角形（不添加辅助线和字母）；
（2）求证：$∠ABE=∠ACE$.

（第17题）

​解：(1)​△ABC∽△ADE，​​△BAD∽△CAE​
​(2)​证明：∵​∠BAD=∠CAE​
∴​∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，​即​∠BAC=∠DAE​
∵​∠ABC=∠ADE​
∴​△ABC∽△ADE​
∴$​\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}​$
∵​∠BAD=∠CAE​
∴​△BAD∽△CAE​
∴​∠ABE=∠ACE​

18. （6分）如图，在矩形ABCD中，$AB=4$，$BC=6$，M是BC的中点，$DE⊥AM$，垂足为E.
（1）求$\triangle ABM$的面积；
（2）求DE的长；
（3）求$\triangle ADE$的面积.

（第18题）

解:​(2)​∵四边形​ABCD​是矩形
∴​AD//BC，​​∠B=90°​
∴​∠DAE=∠AMB​
∵​DE⊥AM​
∴​∠DEA=∠B=90°​
∵​∠DAE=∠AMB，​​∠DEA=∠B​
∴​△ADE∽△AMB​
∴$​\frac {DE}{DA}=\frac {AB}{AM}​$
在​Rt△ABM​中，∵​AB=4，​​BM=3​
∴$​AM=\sqrt {AB^2+BM^2}=5​$
∵​DA=BC=6​
∴$​\frac {DE}{6}=\frac 45​$
∴$​DE=\frac {24}{5}​$
解:​(3)​在​Rt△ADE​中，∵​DA=6，$​​DE=\frac {24}{5}​ $
∴$​AE=\sqrt {DA^2-DE^2}=\frac {18}{5}​$
∴$​S_{△ADE}=\frac 12×AE×DE=\frac {216}{25}​$

19. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，点D在边AC上，且$CD=2DA$，$∠BAC=45^{\circ }$，$∠BDC=60^{\circ }$，$CE⊥BD$，垂足为E.
(1)图中的相等线段有：；
(2)写出图中一对相似的三角形并证明；
(3)求$\triangle BEC$与$\triangle BEA$的面积之比.

(第19题)

DE=DA，EA=EB=EC
解:​(3)​过点​A​作​AF⊥BD，​交​BD​的延长线于点​F，​
如图所示


∵$​S_{△BEC}$：$​​S_{△BEA}=\frac 12BE×CE$：$​​\frac 12BE×AF=CE$：​​AF​
又∵$​S_{△CDE}$：$​​S_{△ADE}=\frac 12DE×CE$：$​​\frac 12DE×AF=CE$：​​AF​
∴$​S_{△BEC}$：$​​S_{△BEA}=S_{△CDE}$：$​​S_{△ADE}=CD$：​​DA​
∵​CD=2DA​
∴$​S_{△BEC}$：$​​S_{△BEA}=2$：​​1​