【例 2】如图 21.2-10，线段 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，分别过点 $B$，$D$ 作 $AC$ 的垂线，垂足分别为 $E$，$F$，且 $BE = DF$，$AF = CE$，依次连接点 $A$，$B$，$C$，$D$. 求证：四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
【点拨】由已知易证$△ BEO ≌ △ DFO$（AAS），得出 $EO = FO$，$BO = DO$，又由 $AF = CE$，即可推出结论.

【例 2】证明：
∵AC⊥BE，AC⊥DF，
∴∠BEO=∠DFO=90°。在△BEO 与△DFO 中，∠EOB=∠FOD，∠BEO=∠DFO，
∴△BEO≌△DFO（AAS），BE=DF，
∴EO=FO，BO=DO。又
∵AF=CE，
∴AF - FO=CE - EO，
∴AO=CO。又
∵BO=DO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。

【解析】
证明：
∵$AC⊥BE$，$AC⊥DF$，
∴$∠ BEO = ∠ DFO = 90°$。
在$△ BEO$与$△ DFO$中，
$\begin{cases}∠ EOB = ∠ FOD \\∠ BEO = ∠ DFO \\BE = DF\end{cases}$
∴$△ BEO≌△ DFO(AAS)$，
∴$EO = FO$，$BO = DO$。
又∵$AF = CE$，
∴$AF - FO = CE - EO$，
即$AO = CO$。
又∵$BO = DO$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】
证明：
∵$AC⊥BE$，$AC⊥DF$，
∴$∠ BEO = ∠ DFO = 90°$。
在$△ BEO$与$△ DFO$中，
$\begin{cases}∠ EOB = ∠ FOD \\∠ BEO = ∠ DFO \\BE = DF\end{cases}$
∴$△ BEO≌△ DFO(AAS)$，
∴$EO = FO$，$BO = DO$。
又∵$AF = CE$，
∴$AF - FO = CE - EO$，
即$AO = CO$。
又∵$BO = DO$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
【点评】
本题通过证明三角形全等得到线段相等，再利用线段的等量代换推出平行四边形的判定条件，考查了全等三角形和平行四边形的相关知识。
【难度系数】
0.6

1. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是()

1. C

【解析】
- 选项A：
根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，图A中四边形的对角线互相平分，所以该四边形是平行四边形。
- 选项B：
根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，图B中四边形的两组对边分别相等（$4 = 4$，$6 = 6$），所以该四边形是平行四边形。
- 选项C：
仅知道一组邻边相等（$4 = 4$）和一组对角相等（$40°=40°$），不满足平行四边形的判定定理，所以不能判定该四边形是平行四边形。
- 选项D：
根据平行四边形的判定定理“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，图D中四边形的两组对角分别相等（$35°=35°$，$40°=40°$），所以该四边形是平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、对角线的性质、对边和对角的关系
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定定理，需要学生熟练掌握并能准确运用这些定理来判断四边形是否为平行四边形。
【难度系数】
0.6

2. 如图，$E$ 是四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上的一点，且 $AB // CD$，则下列条件中不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是()

A.$∠ D = ∠ 5$
B.$∠ 3 = ∠ 4$
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.$∠ B = ∠ D$

2. C

【解析】
- 选项A：
已知$AB// CD$，则$∠ B=∠ 5$（两直线平行，同位角相等）。
若$∠ D=∠ 5$，那么$∠ B=∠ D$。
又因为$AB// CD$，根据“一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选项B：
若$∠ 3=∠ 4$，则$AD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
又因为$AB// CD$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选项C：
若$∠ 1=∠ 2$，仅能得出$AB// CD$（内错角相等，两直线平行），不能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选项D：
已知$AB// CD$，则$∠ B+∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
若$∠ B=∠ D$，那么$∠ D+∠ BCD = 180°$，所以$AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
又因为$AB// CD$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
综上，不能判定四边形$ABCD$是平行四边形的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的性质、平行线的判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定，需要熟练掌握平行四边形的判定定理，并能根据已知条件进行推理。
【难度系数】
0.6

3. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别是 $(-1, 2)$，$(2, 1)$，$(3, 3)$，点 $D$ 是平面内一点，若以点 $A$，$B$，$C$，$D$ 为顶点的四边形是平行四边形，则点 $D$ 的坐标不可能是()

A.$(0, 4)$
B.$(1, 3)$
C.$(6, 2)$
D.$(-2, 0)$

3. B

4. 如图，已知$△ ABC$，分别以点 $C$，$A$ 为圆心，$AB$，$BC$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $D$，连接 $AD$，$CD$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形的依据是.

4. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【解析】
由作图可知$CD = AB$，$AD = BC$。
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题通过作图得到四边形的两组对边分别相等，考查平行四边形的判定定理的应用，题目较为基础。
【难度系数】
0.8