5. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$BD = 12$，点 $E$ 在线段 $BO$ 上从点 $B$ 出发，以每秒 1 个单位长度的速度运动，点 $F$ 在线段 $OD$ 上从点 $O$ 出发，以每秒 2 个单位长度的速度运动. 若点 $E$，$F$ 同时出发，设运动时间为 $t$，当 $t = $时，四边形 $AECF$ 是平行四边形.

5. 2

【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BO = OD=\frac{1}{2}BD = 6$。
若四边形$AECF$是平行四边形，则$OE = OF$。
$BE = t$，$OF = 2t$，$OE = 6 - t$。
由$OE = OF$可得$6 - t = 2t$，
$3t = 6$，
解得$t = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定，通过利用平行四边形对角线互相平分的性质建立等式求解运动时间。
【难度系数】
$0.3$

6. 如图所示，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$BO = DO$. 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

6. 证明：
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO，在△ABO 与△CDO 中，
∵{∠ABO=∠CDO，BO=DO，∠AOB=∠COD}，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴OA=OC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。

【解析】
证明：
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△ABO 与△CDO 中，
∵$\begin{cases}∠ABO = ∠CDO\\BO = DO\\∠AOB = ∠COD\end{cases}$，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴OA=OC，
又∵BO = DO，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
【答案】
四边形 ABCD 是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题通过证明三角形全等得到对角线互相平分，从而判定四边形是平行四边形，考查了相关知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6

7. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$AD$ 上的点，且 $AE // CF$.
（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形.
（2）若$∠ BAE = ∠ DCF$，求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

7. 证明：（1）
∵AD//BC，
∴AF//EC。又
∵AE//CF，
∴四边形 AECF 是平行四边形。
（2）由（1）知，四边形 AECF 是平行四边形，则∠EAF=∠FCE，∠AEC=∠AFC。
∵∠BAE=∠DCF，∠AEC=∠B + ∠BAE，∠AFC=∠D + ∠DCF，
∴∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。

【解析】
（1）
∵$AD// BC$，
∴$AF// EC$。
又∵$AE// CF$，
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴四边形$AECF$是平行四边形。
（2）
由（1）知，四边形$AECF$是平行四边形，
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，
则$∠ EAF = ∠ FCE$，$∠ AEC=∠ AFC$。
∵$∠ BAE=∠ DCF$，$∠ AEC=∠ B+∠ BAE$，$∠ AFC=∠ D+∠ DCF$，
所以$∠ AEC - ∠ BAE=∠ AFC - ∠ DCF$，即$∠ B=∠ D$。
又因为$∠ EAF+∠ BAE=∠ FCE+∠ DCF$，即$∠ BAD=∠ DCB$。
根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析。
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质、角的等量代换
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定与性质，通过对边平行关系和角的等量关系来证明四边形是平行四边形，逻辑清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6

8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，且 $AO = CO$，点 $E$ 在 $BD$ 上，满足$∠ EAO = ∠ DCO$. 求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形.

8. 证明：在△AOE 和△COD 中，{∠EAO=∠DCO，∠DOC=∠EOA，AO=CO}，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD=OE。
∵AO=CO，
∴四边形 AECD 是平行四边形。

【解析】
在$△ AOE$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ EAO = ∠ DCO \\∠ DOC = ∠ EOA \\AO = CO\end{cases}$
$\therefore△ AOE≌△ COD(ASA)$，
$\therefore OD = OE$。
$\because AO = CO$，
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形。
【答案】
证明：在$△ AOE$和$△ COD$中，$\begin{cases}∠ EAO = ∠ DCO \\∠ DOC = ∠ EOA \\AO = CO\end{cases}$，$\therefore△ AOE≌△ COD(ASA)$，$\therefore OD = OE$。$\because AO = CO$，$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题通过证明三角形全等得到对应边相等，再利用平行四边形的判定定理进行证明，考查了学生对相关定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.6