9. 如图，平行四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 60°$，点 $E$，$F$ 分别在 $CD$ 和 $BC$ 的延长线上，$AE // BD$，$EF ⊥ BC$，$CF = \sqrt{5}$.
（1）求证：四边形 $ABDE$ 是平行四边形.
（2）求 $AB$ 的长.

9. （1）证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，即 AB//DE。
∵AE//BD，
∴四边形 ABDE 是平行四边形。
（2）解：
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°。
∵AB//EC，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°。
∵CF=√5，
∴CE=2CF=2√5。
∵四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形，
∴AB=CD=DE，
∴CE=2AB，
∴AB=√5。

【解析】
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，即$AB// DE$。
∵$AE// BD$，
∴四边形$ABDE$是平行四边形。
（2）解：
∵$EF⊥ BC$，
∴$∠ EFC = 90°$。
∵$AB// EC$，
∴$∠ ECF=∠ ABC = 60°$，
∴$∠ CEF = 30°$。
∵$CF=\sqrt{5}$，
∴$CE = 2CF = 2\sqrt{5}$。
∵四边形$ABCD$和四边形$ABDE$都是平行四边形，
∴$AB = CD = DE$，
∴$CE = 2AB$，
∴$AB=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；含$30°$角的直角三角形
【点评】
本题考查平行四边形的判定与性质以及含$30°$角的直角三角形的性质，（1）根据平行四边形的定义证明四边形$ABDE$是平行四边形；（2）先根据平行线的性质得出$∠ ECF$的度数，再利用含$30°$角的直角三角形的性质求出$CE$的长，最后根据平行四边形的性质求出$AB$的长。
【难度系数】
$0.6$

10. (2024·河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程.
|已知：如图，$△ ABC$ 中，$AB = AC$，$AE$ 平分$△ ABC$ 的外角$∠ CAN$，点 $M$ 是 $AC$ 的中点，连接 $BM$ 并延长交 $AE$ 于点 $D$，连接 $CD$. 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
证明：$\because AB = AC$，$\therefore ∠ ABC = ∠ 3$.
$\because ∠ CAN = ∠ ABC + ∠ 3$，$∠ CAN = ∠ 1 + ∠ 2$，$∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore$ ① .
又 $\because ∠ 4 = ∠ 5$，$MA = MC$，
$\therefore △ MAD ≌ △ MCB$(② ).
$\therefore MD = MB$. $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
|
|
|----|----|
若以上解答过程正确，①，②应分别为()

A.$∠ 1 = ∠ 3$，AAS
B.$∠ 1 = ∠ 3$，ASA
C.$∠ 2 = ∠ 3$，AAS
D.$∠ 2 = ∠ 3$，ASA

10. D

【解析】
已知$AB = AC$，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ ABC=∠ 3$。
因为$∠ CAN=∠ ABC + ∠ 3$，$∠ CAN=∠ 1+∠ 2$，且$∠ 1 = ∠ 2$，所以$∠ 2=∠ 3$（等量代换）。
在$△ MAD$和$△ MCB$中，$∠ 4=∠ 5$（对顶角相等），$MA = MC$（已知点$M$是$AC$中点），$∠ 2=∠ 3$（已证），所以$△ MAD≌△ MCB(ASA)$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定、平行四边形判定
【点评】
本题考查等腰三角形性质、全等三角形判定及平行四边形判定的综合运用，通过等量代换和全等三角形判定定理来证明平行四边形，逻辑清晰。
【难度系数】
0.6