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(1)一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等,已知圆柱的底面积是 9 cm²,那么圆锥的底面积是(
27
)cm²。答案
(1)27
解析 圆柱体积=底面积×高，圆锥体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高，设圆柱和圆锥的高为$a$ cm，圆锥的底面积为$b$ cm²，它们体积相等，则$9a=\frac{1}{3}ab$，解得$b = 27$，即圆锥的底面积是$27$ cm²。
解析 圆柱体积=底面积×高，圆锥体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高，设圆柱和圆锥的高为$a$ cm，圆锥的底面积为$b$ cm²，它们体积相等，则$9a=\frac{1}{3}ab$，解得$b = 27$，即圆锥的底面积是$27$ cm²。
(2)一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积都相等,已知圆锥的高是 12 cm,那么圆柱的高是(
4
)cm。答案
(2)4
解析 设圆柱和圆锥的底面积为$a$ cm²，圆柱的高为$b$ cm，它们体积相等，则$ab=\frac{1}{3}a×12$，解得$b = 4$，即圆柱的高是$4$ cm。
解析 设圆柱和圆锥的底面积为$a$ cm²，圆柱的高为$b$ cm，它们体积相等，则$ab=\frac{1}{3}a×12$，解得$b = 4$，即圆柱的高是$4$ cm。
(3)一个圆锥的体积比与它等底、等高的圆柱的体积少 4.8 dm³,那么这个圆锥的体积是(
2.4
)dm³,圆柱的体积是(7.2
)dm³。答案
(3)2.4 7.2
解析 圆柱的体积是与它等底、等高的圆锥体积的3倍，假设圆锥的体积是1份，则圆柱的体积是3份。
观察解析图可知，2份对应$4.8$ dm³，那么1份就是$4.8÷2 = 2.4$ (dm³)，所以圆锥的体积是$2.4×1 = 2.4$ (dm³)，圆柱的体积是$2.4×3 = 7.2$ (dm³)。
(1)一个圆锥的高如果缩小到原来的$\frac{1}{9}$,要使体积不变,那么底面半径应(
A.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
B.缩小到原来的$\frac{1}{9}$
C.扩大到原来的 3 倍
D.扩大到原来的 9 倍
C
)。A.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
B.缩小到原来的$\frac{1}{9}$
C.扩大到原来的 3 倍
D.扩大到原来的 9 倍
答案
(1)C
解析 圆锥体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高，要使体积不变，就要“底面积×高”的积不变，高缩小到原来的$\frac{1}{9}$，那么底面积应该扩大到原来的9倍，底面积=$π r^{2}$，即$r^{2}$应扩大到原来的9倍，$3^{2}=9$，$r$应扩大到原来的3倍，选C。
解析 圆锥体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高，要使体积不变，就要“底面积×高”的积不变，高缩小到原来的$\frac{1}{9}$，那么底面积应该扩大到原来的9倍，底面积=$π r^{2}$，即$r^{2}$应扩大到原来的9倍，$3^{2}=9$，$r$应扩大到原来的3倍，选C。
(2)如右图,将瓶子中的橙汁倒入杯子中,能倒满(
A.3
B.4
C.6
D.9
C
)杯。A.3
B.4
C.6
D.9
答案
(2)C
解析 等底、等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，分析下图，可以倒6杯。
①的体积=②的体积
①的体积=③的体积×3
瓶中橙汁体积=③的体积×6
3 “孤舟蓑笠翁,独钓寒江雪。”假设渔翁头上戴的是一顶圆锥形斗笠,如图所示。这顶斗笠平放在桌面上所占的空间大小是多少立方厘米?
答案
3. $\frac{1}{3}×3.14×(40÷2)^{2}×15 = 6280$ (cm³)
答：这顶斗笠平放在桌面上所占的空间大小是$6280$ cm³。
解析 圆锥的高是圆锥顶点到底面圆心的距离，所以圆锥形斗笠的高是$15$ cm，圆锥形斗笠的体积=$\frac{1}{3}×3.14×$(底面直径÷2)²×高。
答：这顶斗笠平放在桌面上所占的空间大小是$6280$ cm³。
解析 圆锥的高是圆锥顶点到底面圆心的距离，所以圆锥形斗笠的高是$15$ cm，圆锥形斗笠的体积=$\frac{1}{3}×3.14×$(底面直径÷2)²×高。
4 蒙古包由一个近似的圆柱形和一个近似的圆锥形组成,如下图,从里面量得的数据如图。这个蒙古包里的空间大约是多少立方米?
答案
4. $3.14×(6÷2)^{2}×2 = 56.52$ (m³)
$\frac{1}{3}×3.14×(6÷2)^{2}×1 = 9.42$ (m³)
$56.52 + 9.42 = 65.94$ (m³)
答：这个蒙古包里的空间大约是$65.94$ m³。
解析 求这个蒙古包里的空间就是求题图中的圆柱加圆锥的容积，将题图中的数据代入圆柱和圆锥的体积公式计算即可。
$\frac{1}{3}×3.14×(6÷2)^{2}×1 = 9.42$ (m³)
$56.52 + 9.42 = 65.94$ (m³)
答：这个蒙古包里的空间大约是$65.94$ m³。
解析 求这个蒙古包里的空间就是求题图中的圆柱加圆锥的容积，将题图中的数据代入圆柱和圆锥的体积公式计算即可。
5 如图,一个直角三角形,它的三条边的长度分别是 3 cm、4 cm 和 5 cm。以直角三角形斜边所在的直线为轴旋转一周,得到的立体图形的体积是多少立方厘米?
答案
5. $3×4÷5 = 2.4$ (cm)
$\frac{1}{3}×3.14×2.4^{2}×5 = 30.144$ (cm³)
答：得到的立体图形的体积是$30.144$ cm³。
解析 旋转后得到的图形如下页图，是等底的两个圆锥组成的，高之和是$5$ cm。
要求圆锥的体积，需要先求出底面半径，就是直角三角形斜边上的高，可以用三角形面积公式来求。三角形的面积=直角边×直角边÷2=斜边×斜边上的高÷2，也就是斜边上的高=$3×4÷5 = 2.4$ (cm)。
两个圆锥的底面积相同，因此在计算两个圆锥的体积之和时，可以把高相加，也就是$5$ cm，再乘底面积和$\frac{1}{3}$。
