4. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC = BC = BD$，且 $AC⊥ BD$，若 $AB = 8$，则 $S_{△ ABD} =$。
(第4题)

4. 16 【提示】如图，过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$，
$\therefore ∠ BED = ∠ AHC = 90°$。
$\because AC = BC$，
$\therefore AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
$\because BD ⊥ AC$，
$\therefore ∠ DBE + ∠ BAC = ∠ ACH + ∠ BAC = 90°$。
$\therefore ∠ DBE = ∠ ACH$。
$\because ∠ BED = ∠ AHC$，$BD = CA$，
$\therefore △ BDE ≌ △ CAH(AAS)$。
$\therefore DE = AH = 4$。
$\therefore S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB × DE = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16$。

5. 如图，$D$ 为等腰直角三角形 $ABC$ 斜边 $AC$ 上一动点(点 $D$ 不与线段 $AC$ 两端点重合)，将 $BD$ 绕点 $B$ 顺时针方向旋转 $90°$ 到 $BE$，连接 $AE$，$EC$，$ED$。
(1)求证：$AD = CE$；
(2)求证：$CE^{2} + CD^{2} = DE^{2}$；
(3)若 $AD = 1$，$CD = 7$，则 $BD$ 的长为。
(第5题)

5. (1)证明：由题意，得 $BD = BE$，$∠ DBE = 90°$。
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore AB = CB$，$∠ ABC = 90°$，即 $∠ ABC = ∠ DBE$。
$\therefore ∠ ABC - ∠ DBC = ∠ DBE - ∠ DBC$，
即 $∠ ABD = ∠ CBE$。
$\because$ 在 $△ ABD$ 和 $△ CBE$ 中，
$\begin{cases} BD = BE, \\ ∠ ABD = ∠ CBE, \\ AB = CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBE(SAS)$，
$\therefore AD = CE$。
(2)证明：$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ ACB = ∠ BAC = 45°$。
由(1)知 $△ ABD ≌ △ CBE$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BCE = 45°$。
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB + ∠ BCE = 90°$。
在 $Rt△ DCE$ 中，根据勾股定理，得 $CE^{2} + CD^{2} = DE^{2}$。
(3)5 【提示】依题意，得 $BD = BE$，$AD = EC = 1$，$CD = 7$。$\therefore$ 在 $Rt△ DCE$ 中，由勾股定理，得 $ED = \sqrt{CD^{2} + EC^{2}} = 5\sqrt{2}$。
在 $Rt△ BDE$ 中，根据勾股定理，得 $DE^{2} = BD^{2} + BE^{2}$。
$\therefore (5\sqrt{2})^{2} = BD^{2} + BD^{2}$。
解得 $BD = 5$ 或 $BD = -5$（不符合题意，舍去）。
$\therefore BD = 5$。