12. 如图，在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$BD$ 为高。
（1）若 $∠ ABD + ∠ C = 120°$，求 $∠ A$ 的度数；
（2）若 $CD = 3$，$BC = 5$，求 $△ ABC$ 的面积。

12. 解：(1)$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ A)$。
$\because BD$ 为 $△ ABC$ 的高，
$\therefore ∠ ADB = ∠ BDC = 90°$。
$\therefore ∠ ABD = 90° - ∠ A$。
$\because ∠ ABD + ∠ C = 120°$，
$\therefore 90° - ∠ A + \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 120°$。
$\therefore ∠ A = 40°$。
(2)在 $Rt△ BDC$ 中，$CD = 3$，$BC = 5$，
根据勾股定理，得 $BD = \sqrt{BC^{2} - CD^{2}} = 4$。
设 $AB = AC = x$，则 $AD = AC - CD = x - 3$。
在 $Rt△ ADB$ 中，根据勾股定理，
得 $x^{2} = (x - 3)^{2} + 4^{2}$。解得 $x = \frac{25}{6}$。
$\therefore △ ABC$ 的面积 $= \frac{1}{2}AC · BD = \frac{1}{2} × \frac{25}{6} × 4 = \frac{25}{3}$。

1. 如图，在 Rt△ABC 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1​，S2​，S3​。若 S1​=6，S3​=15，则图中阴影部分的面积为().
A.$6$
B.$9$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{9}{2}$

1. D

2. 如图，$OP = 1$，过点 $P$ 作 $PP_{1}⊥ OP$ 且 $PP_{1} = 2OP = 2$，得 $OP_{1} = \sqrt{5}$，再过点 $P_{1}$ 作 $P_{1}P_{2}⊥ OP_{1}$ 且 $P_{1}P_{2} = 2OP_{1}$，得 $OP_{2}$ 的长；又过点 $P_{2}$ 作 $P_{2}P_{3}⊥ OP_{2}$ 且 $P_{2}P_{3} = 2OP_{2}$，得 $OP_{3}$ 的长……依此法继续作下去，则 $OP_{n} =$().

A.$(\dfrac{\sqrt{5}}{2})^{n}$
B.$(\sqrt{5})^{n}$
C.$(\sqrt{5})^{5^{n}+1}$
D.$5^{n + 1}$

2. B

3. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$AB = 4$，$AD$ 是中线，$E$ 是 $AD$ 的中点，$P$ 是边 $AC$ 上一动点，则 $BP - EP$ 的最大值是。

3. $\sqrt{7}$ 【提示】如图，连接 $BE$。
$\because$ 在等边三角形 $ABC$ 中，$AD$ 是中线，$AB = 4$，
$\therefore AD ⊥ BC$，
$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AB = 2$。
根据勾股定理，得 $AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = 2\sqrt{3}$。
$\because E$ 是 $AD$ 的中点，$\therefore DE = \frac{1}{2}AD = \sqrt{3}$。
$\because BP - EP ≤ BE$，$\therefore$ 当 $B$，$E$，$P$ 三点在同一直线上时，$BP - EP$ 有最大值为 $BE$。
此时根据勾股定理，得 $BE = \sqrt{BD^{2} + DE^{2}} = \sqrt{2^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{7}$。