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【例2】如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点K在边BC上，延长CD到点H，使DH=CE=BK. 求证：四边形AKFH是正方形。
思路分析
思考：△ADH，△ABK，△HGF，△KEF之间有什么关系？
证明：
【规律方法】
（1）判定一个四边形是正方形时，可先证明这个四边形是平行四边形，再证明它是矩形或菱形，最后证明它是正方形；
（2）应用正方形的性质时，紧扣“边、角、对角线”三个方面，将条件转化为线段相等、角之间的关系或利用三角形特性等解决相关问题。
变式训练
2. 如图，已知在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D. 小明分别以线段AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为点E和点F，延长EB，FC，相交于点G.
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）求证：四边形AEGF是正方形。
（2）若AD=6，BD=2，求CD的长度。
思路分析
思考：△ADH，△ABK，△HGF，△KEF之间有什么关系？
证明：
【规律方法】
（1）判定一个四边形是正方形时，可先证明这个四边形是平行四边形，再证明它是矩形或菱形，最后证明它是正方形；
（2）应用正方形的性质时，紧扣“边、角、对角线”三个方面，将条件转化为线段相等、角之间的关系或利用三角形特性等解决相关问题。
变式训练
2. 如图，已知在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D. 小明分别以线段AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为点E和点F，延长EB，FC，相交于点G.
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）求证：四边形AEGF是正方形。
（2）若AD=6，BD=2，求CD的长度。
答案
思路分析
思考:全等。
证明:因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，
所以$AB = AD = DC = BC$，$GC = EC = FG = EF$，$∠ABK = ∠ADC = ∠CEF = ∠CGF = 90°$，
所以$∠ADH = 180° - ∠ADC = 90°$，$∠HGF = 180° - ∠CGF = 90°$。
因为$DH = CE = BK$，
所以易得$HG = EK = BC = AD = AB$。
在$△ADH$和$△ABK$中，
$\begin{cases}AD = AB\\∠ADH = ∠ABK\\DH = BK\end{cases}$
所以$△ADH≌△ABK(SAS)$，
所以$∠HAD = ∠BAK$。
因为$∠BAD = ∠BAK + ∠KAD = 90°$，所以$∠HAK = ∠HAD + ∠KAD = 90°$。根据上述证明思路，易得$△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH$，
所以$HF = KF = AK = AH$，
所以四边形AKFH是正方形。
变式训练
2.(1)证明:根据题意，得$△ABD≌△ABE$，$△ACD≌△ACF$，
所以$AD = AE$，$∠DAB = ∠EAB$，$AD = AF$，$∠DAC = ∠FAC$，$∠ADB = ∠E$，$∠ADC = ∠F$。
所以$AE = AF$。
因为$∠BAC = 45°$，
所以$∠EAF = ∠DAB + ∠DAC + ∠EAB + ∠FAC = ∠BAC + ∠BAC = 90°$。
因为$AD⊥BC$，
所以$∠ADB = ∠ADC = 90°$，
所以$∠E = ∠ADB = ∠F = ∠ADC = 90°$，所以四边形AEGF是矩形。
因为$AE = AF$，
所以四边形AEGF是正方形。
(2)解:$CD = 3$。
思考:全等。
证明:因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，
所以$AB = AD = DC = BC$，$GC = EC = FG = EF$，$∠ABK = ∠ADC = ∠CEF = ∠CGF = 90°$，
所以$∠ADH = 180° - ∠ADC = 90°$，$∠HGF = 180° - ∠CGF = 90°$。
因为$DH = CE = BK$，
所以易得$HG = EK = BC = AD = AB$。
在$△ADH$和$△ABK$中，
$\begin{cases}AD = AB\\∠ADH = ∠ABK\\DH = BK\end{cases}$
所以$△ADH≌△ABK(SAS)$，
所以$∠HAD = ∠BAK$。
因为$∠BAD = ∠BAK + ∠KAD = 90°$，所以$∠HAK = ∠HAD + ∠KAD = 90°$。根据上述证明思路，易得$△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH$，
所以$HF = KF = AK = AH$，
所以四边形AKFH是正方形。
变式训练
2.(1)证明:根据题意，得$△ABD≌△ABE$，$△ACD≌△ACF$，
所以$AD = AE$，$∠DAB = ∠EAB$，$AD = AF$，$∠DAC = ∠FAC$，$∠ADB = ∠E$，$∠ADC = ∠F$。
所以$AE = AF$。
因为$∠BAC = 45°$，
所以$∠EAF = ∠DAB + ∠DAC + ∠EAB + ∠FAC = ∠BAC + ∠BAC = 90°$。
因为$AD⊥BC$，
所以$∠ADB = ∠ADC = 90°$，
所以$∠E = ∠ADB = ∠F = ∠ADC = 90°$，所以四边形AEGF是矩形。
因为$AE = AF$，
所以四边形AEGF是正方形。
(2)解:$CD = 3$。
解析
【解析】
例2证明：
因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，
所以$AB = AD = DC = BC$，$GC = EC = FG = EF$，$∠ABK = ∠ADC = ∠CEF = ∠CGF = 90°$，
所以$∠ADH = 180° - ∠ADC = 90°$，$∠HGF = 180° - ∠CGF = 90°$。
因为$DH = CE = BK$，
所以易得$HG = EK = BC = AD = AB$。
在$△ADH$和$△ABK$中，
$\begin{cases}AD = AB\\∠ADH = ∠ABK\\DH = BK\end{cases}$
所以$△ADH≌△ABK(SAS)$，
所以$∠HAD = ∠BAK$。
因为$∠BAD = ∠BAK + ∠KAD = 90°$，所以$∠HAK = ∠HAD + ∠KAD = 90°$。
同理可证$△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH$，
所以$HF = KF = AK = AH$，
故四边形AKFH是正方形。
变式训练2：
(1)证明：
根据题意，得$△ABD≌△ABE$，$△ACD≌△ACF$，
所以$AD = AE$，$∠DAB = ∠EAB$，$AD = AF$，$∠DAC = ∠FAC$，$∠ADB = ∠E$，$∠ADC = ∠F$。
所以$AE = AF$。
因为$∠BAC = 45°$，
所以$∠EAF = ∠DAB + ∠DAC + ∠EAB + ∠FAC = 2∠BAC = 90°$。
因为$AD⊥BC$，
所以$∠ADB = ∠ADC = 90°$，
所以$∠E = ∠F = 90°$，则四边形AEGF是矩形。
又因为$AE = AF$，
所以四边形AEGF是正方形。
(2)解：
设$CD = x$，由轴对称性质可知$BE = BD = 2$，$CF = CD = x$，$AE = AF = AD = 6$，
因为四边形AEGF是正方形，所以$EG = FG = 6$，
则$BG = EG - BE = 6 - 2 = 4$，$CG = FG - CF = 6 - x$，
在$Rt△BGC$中，$BG^2 + CG^2 = BC^2$，即$4^2 + (6 - x)^2 = (2 + x)^2$，
展开整理得$16x = 48$，解得$x = 3$，即$CD = 3$。
【答案】
例2：四边形AKFH是正方形；
变式训练2：(1)四边形AEGF是正方形得证；(2)$CD = 3$
【知识点】
正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质
【点评】
本题综合考查正方形判定与性质、全等三角形及轴对称的应用。判定正方形可遵循“平行四边形→矩形/菱形→正方形”的思路；解题中需通过全等和轴对称转化线段、角的关系，将分散条件整合，利用直角三角形勾股定理完成计算，培养逻辑推理与几何计算能力。
【难度系数】
0.6
例2证明：
因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，
所以$AB = AD = DC = BC$，$GC = EC = FG = EF$，$∠ABK = ∠ADC = ∠CEF = ∠CGF = 90°$，
所以$∠ADH = 180° - ∠ADC = 90°$，$∠HGF = 180° - ∠CGF = 90°$。
因为$DH = CE = BK$，
所以易得$HG = EK = BC = AD = AB$。
在$△ADH$和$△ABK$中，
$\begin{cases}AD = AB\\∠ADH = ∠ABK\\DH = BK\end{cases}$
所以$△ADH≌△ABK(SAS)$，
所以$∠HAD = ∠BAK$。
因为$∠BAD = ∠BAK + ∠KAD = 90°$，所以$∠HAK = ∠HAD + ∠KAD = 90°$。
同理可证$△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH$，
所以$HF = KF = AK = AH$，
故四边形AKFH是正方形。
变式训练2：
(1)证明：
根据题意，得$△ABD≌△ABE$，$△ACD≌△ACF$，
所以$AD = AE$，$∠DAB = ∠EAB$，$AD = AF$，$∠DAC = ∠FAC$，$∠ADB = ∠E$，$∠ADC = ∠F$。
所以$AE = AF$。
因为$∠BAC = 45°$，
所以$∠EAF = ∠DAB + ∠DAC + ∠EAB + ∠FAC = 2∠BAC = 90°$。
因为$AD⊥BC$，
所以$∠ADB = ∠ADC = 90°$，
所以$∠E = ∠F = 90°$，则四边形AEGF是矩形。
又因为$AE = AF$，
所以四边形AEGF是正方形。
(2)解：
设$CD = x$，由轴对称性质可知$BE = BD = 2$，$CF = CD = x$，$AE = AF = AD = 6$，
因为四边形AEGF是正方形，所以$EG = FG = 6$，
则$BG = EG - BE = 6 - 2 = 4$，$CG = FG - CF = 6 - x$，
在$Rt△BGC$中，$BG^2 + CG^2 = BC^2$，即$4^2 + (6 - x)^2 = (2 + x)^2$，
展开整理得$16x = 48$，解得$x = 3$，即$CD = 3$。
【答案】
例2：四边形AKFH是正方形；
变式训练2：(1)四边形AEGF是正方形得证；(2)$CD = 3$
【知识点】
正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质
【点评】
本题综合考查正方形判定与性质、全等三角形及轴对称的应用。判定正方形可遵循“平行四边形→矩形/菱形→正方形”的思路；解题中需通过全等和轴对称转化线段、角的关系，将分散条件整合，利用直角三角形勾股定理完成计算，培养逻辑推理与几何计算能力。
【难度系数】
0.6
探究菱形、矩形、正方形的关系
虽然菱形、矩形与正方形的形状有差异，但它们之间也有一定的联系，某综合实践小组对菱形、矩形、正方形之间的关系进行了探究。他们将菱形与正方形的接近程度称为菱形的“接近度”；将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”。
【探究菱形】
如图，设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°。
(1)甲同学将菱形的“接近度”定义为|m−n|，则|m−n|越小，菱形就越接近正方形。
①当菱形的一个内角为70°时，这个菱形的“接近度”为
②在这种定义下，当菱形的“接近度”为
(2)乙同学将菱形的“接近度”定义为$\frac{m}{n}(m≤n)$。
①当菱形的一个内角为60°时，该菱形的“接近度”为
②在这种定义下，当菱形的“接近度”为
【探究矩形】
(3)如图，设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b)，丙同学将矩形的“接近度”定义为$\frac{a}{b}$，则$\frac{a}{b}$越小，矩形越接近于正方形。
他的定义合理吗？请说明理由。
虽然菱形、矩形与正方形的形状有差异，但它们之间也有一定的联系，某综合实践小组对菱形、矩形、正方形之间的关系进行了探究。他们将菱形与正方形的接近程度称为菱形的“接近度”；将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”。
【探究菱形】
如图，设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°。
(1)甲同学将菱形的“接近度”定义为|m−n|，则|m−n|越小，菱形就越接近正方形。
①当菱形的一个内角为70°时，这个菱形的“接近度”为
40
；②在这种定义下，当菱形的“接近度”为
0
时，该菱形就是正方形。(2)乙同学将菱形的“接近度”定义为$\frac{m}{n}(m≤n)$。
①当菱形的一个内角为60°时，该菱形的“接近度”为
$\frac{1}{2}$
；②在这种定义下，当菱形的“接近度”为
1
时，该菱形就是正方形。【探究矩形】
(3)如图，设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b)，丙同学将矩形的“接近度”定义为$\frac{a}{b}$，则$\frac{a}{b}$越小，矩形越接近于正方形。
他的定义合理吗？请说明理由。
答案
解:(1)①40 ②0 (2)①$\frac{1}{2}$ ②1
(3)不合理。理由如下:
因为当$\frac{a}{b} = 1$时，矩形相邻两条边长相等，此时这个矩形就是正方形，
所以只有矩形的“接近度”$\frac{a}{b}$越接近1，矩形才越接近正方形，
所以丙同学的定义不合理。
(3)不合理。理由如下:
因为当$\frac{a}{b} = 1$时，矩形相邻两条边长相等，此时这个矩形就是正方形，
所以只有矩形的“接近度”$\frac{a}{b}$越接近1，矩形才越接近正方形，
所以丙同学的定义不合理。
解析
【解析】
(1)①因为菱形相邻内角互补，当一个内角为70°时，另一个内角为180°-70°=110°，所以“接近度”为|70-110|=40；
②正方形的相邻内角都为90°，则|90-90|=0，所以当“接近度”为0时，菱形是正方形。
(2)①当菱形一个内角为60°时，另一个内角为180°-60°=120°，由m≤n，得“接近度”为$\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$；
②正方形相邻内角都为90°，则$\frac{90}{90}=1$，所以当“接近度”为1时，菱形是正方形。
(3)不合理。理由：当$\frac{a}{b}=1$时，a=b，矩形相邻边长相等，此时矩形是正方形，因此只有$\frac{a}{b}$越接近1，矩形才越接近正方形，故丙同学的定义不合理。
【答案】
(1)①40；②0
(2)①$\frac{1}{2}$；②1
(3)不合理，理由见解析。
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、正方形的判定
【点评】
本题通过自定义“接近度”概念，考查特殊四边形的性质与判定，需结合菱形、矩形、正方形的特征分析它们的联系，深化对特殊四边形的理解。
【难度系数】
0.7
(1)①因为菱形相邻内角互补，当一个内角为70°时，另一个内角为180°-70°=110°，所以“接近度”为|70-110|=40；
②正方形的相邻内角都为90°，则|90-90|=0，所以当“接近度”为0时，菱形是正方形。
(2)①当菱形一个内角为60°时，另一个内角为180°-60°=120°，由m≤n，得“接近度”为$\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$；
②正方形相邻内角都为90°，则$\frac{90}{90}=1$，所以当“接近度”为1时，菱形是正方形。
(3)不合理。理由：当$\frac{a}{b}=1$时，a=b，矩形相邻边长相等，此时矩形是正方形，因此只有$\frac{a}{b}$越接近1，矩形才越接近正方形，故丙同学的定义不合理。
【答案】
(1)①40；②0
(2)①$\frac{1}{2}$；②1
(3)不合理，理由见解析。
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、正方形的判定
【点评】
本题通过自定义“接近度”概念，考查特殊四边形的性质与判定，需结合菱形、矩形、正方形的特征分析它们的联系，深化对特殊四边形的理解。
【难度系数】
0.7
