1. 利用定义
有一组邻边且有一个角是的平行四边形是正方形。

1.相等　直角

【解析】
根据正方形的定义，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故依次填入对应内容。
【答案】
相等；直角
【知识点】
正方形的定义
【点评】
本题考查正方形的定义，属于基础概念题，需准确掌握特殊平行四边形的判定定义，加深对特殊四边形相关概念的理解。
【难度系数】
0.9

2. 利用边
有一组邻边的矩形是正方形。

2.相等

【解析】
矩形的四个角均为直角，当矩形有一组邻边相等时，其四条边都相等，满足正方形“四条边相等且四个角都是直角”的定义，因此有一组邻边相等的矩形是正方形。
【答案】
相等
【知识点】
正方形的判定
【点评】
本题考查正方形的判定，需明晰矩形与正方形的联系，掌握利用边的特征判定正方形的方法，属于基础概念题。
【难度系数】
0.9

3. 利用角
有一个角是的菱形是正方形。

3.直角

【解析】
菱形的四条边相等，对角相等，邻角互补。当菱形有一个角是直角时，由邻角互补可推出其余三个角也为直角，此时该菱形满足“四条边相等且四个角都是直角”，符合正方形的定义，因此有一个角是直角的菱形是正方形。
【答案】
直角
【知识点】
正方形的判定
【点评】
本题考查正方形的判定定理，需理清菱形与正方形的特殊关系，掌握特殊四边形的转化条件。
【难度系数】
0.8

4. 利用对角线
(1)对角线的矩形是正方形。
(2)对角线的菱形是正方形。

4.(1)互相垂直　(2)相等

【解析】
(1)矩形的对角线本身相等，当对角线互相垂直时，该矩形同时具备菱形的对角线特征，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故填互相垂直；
(2)菱形的对角线本身互相垂直，当对角线相等时，该菱形同时具备矩形的对角线特征，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，故填相等。
【答案】
(1)互相垂直　(2)相等
【知识点】
正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质，重点在于理解矩形、菱形与正方形之间的转化关系，属于基础概念题，需熟练掌握特殊四边形的对角线性质。
【难度系数】
0.8

【例1】如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G. 求证：四边形OGCF是正方形。

证明：
【规律方法】
判定正方形的基本思路

变式训练
1. 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，M，N分别是AB和CD的中点。
（1）判定四边形AMCN的形状并证明；
（2）给△ABC补充一个条件，使得四边形AMCN是正方形，并证明。

证明:如图，作$OH⊥AB$于点H.

因为$OF⊥AC$于点F，$OG⊥BC$于点G，所以$∠OGC = ∠OFC = 90°$。
因为$∠C = 90°$，
所以四边形OGCF是矩形。
因为AD平分$∠BAC$，
所以$OH = OF$。
因为BE平分$∠ABC$，
所以$OH = OG$，
所以$OF = OG$，
所以四边形OGCF是正方形。
变式训练
1.解:(1)四边形AMCN是菱形。证明如下:因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AB// CD$，$AB = CD$。
因为M，N分别是AB和CD的中点，
所以$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = CN$，$AM// CN$，所以四边形AMCN是平行四边形。
又因为$AC⊥BC$，
所以$AM = BM = CM$，
所以四边形AMCN是菱形。
(2)当$AC = BC$时，四边形AMCN是正方形(答案不唯一)。证明如下:
因为$AC = BC$，M是AB的中点，
所以$CM⊥AB$，
所以$∠AMC = 90°$。
由(1)知，四边形AMCN是菱形，
所以四边形AMCN是正方形。

【解析】
例1证明：
作$OH⊥AB$于点H。
因为$OF⊥AC$于点F，$OG⊥BC$于点G，所以$∠OGC = ∠OFC = 90°$。
又因为在Rt△ABC中，$∠C = 90°$，所以四边形OGCF是矩形。
因为AD平分$∠BAC$，$OF⊥AC$，$OH⊥AB$，所以$OH = OF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
因为BE平分$∠ABC$，$OG⊥BC$，$OH⊥AB$，所以$OH = OG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
所以$OF = OG$，因此四边形OGCF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。
变式训练解答：
（1）四边形AMCN是菱形。证明如下：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
因为M，N分别是AB和CD的中点，所以$AM = \frac{1}{2}AB$，$CN = \frac{1}{2}CD$，则$AM = CN$，且$AM// CN$，所以四边形AMCN是平行四边形。
又因为$AC⊥BC$，M是AB的中点，所以$AM = CM$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），所以平行四边形AMCN是菱形。
（2）补充条件：$AC = BC$（答案不唯一）。证明如下：
因为$AC = BC$，M是AB的中点，所以$CM⊥AB$（等腰三角形三线合一），即$∠AMC = 90°$。
由（1）知四边形AMCN是菱形，所以四边形AMCN是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
【答案】
例1：四边形OGCF是正方形；
变式训练（1）：四边形AMCN是菱形；
（2）补充条件如$AC = BC$（答案不唯一），四边形AMCN是正方形。
【知识点】
正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合直角三角形、平行四边形的性质，考查特殊四边形的判定，需熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，通过逐步推导完成证明，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6