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变式训练
2. 化简：
(1) $\sqrt{\frac{8}{3}}$；
(2) $\sqrt{\frac{9 × 36}{121}}$；
(3) $\sqrt{\frac{2x^2}{3y}}$（$x ＞ 0$，$y ＞ 0$）；
(4) $\sqrt{\frac{0.01 × 81}{0.25 × 144}}$。
2. 化简：
(1) $\sqrt{\frac{8}{3}}$；
(2) $\sqrt{\frac{9 × 36}{121}}$；
(3) $\sqrt{\frac{2x^2}{3y}}$（$x ＞ 0$，$y ＞ 0$）；
(4) $\sqrt{\frac{0.01 × 81}{0.25 × 144}}$。
答案
变式训练2.解：(1)原式$=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.(2)原式$=\dfrac{18}{11}$.(3)原式$=\dfrac{x\sqrt{6y}}{3y}$.(4)原式$=\dfrac{3}{20}$.
解析
【解析】
根据二次根式的商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）拆分原式：
原式$=\frac{\sqrt{0.01×81}}{\sqrt{0.25×144}}$
再利用积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）展开：
$=\frac{\sqrt{0.01}×\sqrt{81}}{\sqrt{0.25}×\sqrt{144}}$
计算各算术平方根：$\sqrt{0.01}=0.1$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt{0.25}=0.5$，$\sqrt{144}=12$，代入计算：
$=\frac{0.1×9}{0.5×12}=\frac{0.9}{6}=\frac{3}{20}$
【答案】
$\frac{3}{20}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，需熟练运用二次根式的商与积的算术平方根的性质，计算时要准确求出各数的算术平方根，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.9
根据二次根式的商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）拆分原式：
原式$=\frac{\sqrt{0.01×81}}{\sqrt{0.25×144}}$
再利用积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）展开：
$=\frac{\sqrt{0.01}×\sqrt{81}}{\sqrt{0.25}×\sqrt{144}}$
计算各算术平方根：$\sqrt{0.01}=0.1$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt{0.25}=0.5$，$\sqrt{144}=12$，代入计算：
$=\frac{0.1×9}{0.5×12}=\frac{0.9}{6}=\frac{3}{20}$
【答案】
$\frac{3}{20}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，需熟练运用二次根式的商与积的算术平方根的性质，计算时要准确求出各数的算术平方根，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.9
例3
下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化简，使结果中的二次根式为最简二次根式。
(1) $\sqrt{\frac{2}{5}xy}$；
(2) $\sqrt{x^2 + y^2}$；
(3) $\sqrt{32n}$；
(4) $\sqrt{a^3 + 4a^2 + 4a}$（$a ≥ 0$）。
解：
规律方法
化简二次根式的一般方法
(1) 将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方。
(2) 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数。
(3) 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成完全平方数（或完全平方式），再进行开方运算。
(4) 被开方数是多项式的，要先将其进行因式分解。
下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化简，使结果中的二次根式为最简二次根式。
(1) $\sqrt{\frac{2}{5}xy}$；
(2) $\sqrt{x^2 + y^2}$；
(3) $\sqrt{32n}$；
(4) $\sqrt{a^3 + 4a^2 + 4a}$（$a ≥ 0$）。
解：
规律方法
化简二次根式的一般方法
(1) 将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方。
(2) 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数。
(3) 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成完全平方数（或完全平方式），再进行开方运算。
(4) 被开方数是多项式的，要先将其进行因式分解。
答案
【例3】解：(1)原式$=\dfrac{\sqrt{10xy}}{5}$.(2)$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$是最简二次根式.(3)原式$=4\sqrt{2n}$.(4)原式$=(a+2)\sqrt{a}$.
解析
【解析】
1. 对于$\sqrt{\frac{2}{5}xy}$，被开方数为分式，将分母化为完全平方数，分子分母同乘5得$\sqrt{\frac{10xy}{25}}$，开方后得到$\frac{\sqrt{10xy}}{5}$，不是最简二次根式。
2. $\sqrt{x^2 + y^2}$的被开方数$x^2+y^2$无法因式分解，不含分母且无开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
3. $\sqrt{32n}$的被开方数中32可分解为$16×2$，16是能开得尽方的因数，开方后得$4\sqrt{2n}$，不是最简二次根式。
4. 对于$\sqrt{a^3 + 4a^2 + 4a}$（$a ≥ 0$），先对被开方数因式分解：$a^3+4a^2+4a=a(a+2)^2$，其中$(a+2)^2$是能开得尽方的因式，结合$a≥0$，开方后得$(a+2)\sqrt{a}$，不是最简二次根式。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{10xy}}{5}$；
(2) $\sqrt{x^2 + y^2}$是最简二次根式；
(3) $4\sqrt{2n}$；
(4) $(a+2)\sqrt{a}$。
【知识点】
最简二次根式定义、二次根式化简、因式分解
【点评】
本题考查最简二次根式的判定与二次根式的化简，覆盖了分式型、整数型、多项式型等多种类型的二次根式，需熟练运用最简二次根式的判定标准及二次根式化简的规律方法，有助于夯实二次根式相关的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
1. 对于$\sqrt{\frac{2}{5}xy}$，被开方数为分式，将分母化为完全平方数，分子分母同乘5得$\sqrt{\frac{10xy}{25}}$，开方后得到$\frac{\sqrt{10xy}}{5}$，不是最简二次根式。
2. $\sqrt{x^2 + y^2}$的被开方数$x^2+y^2$无法因式分解，不含分母且无开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
3. $\sqrt{32n}$的被开方数中32可分解为$16×2$，16是能开得尽方的因数，开方后得$4\sqrt{2n}$，不是最简二次根式。
4. 对于$\sqrt{a^3 + 4a^2 + 4a}$（$a ≥ 0$），先对被开方数因式分解：$a^3+4a^2+4a=a(a+2)^2$，其中$(a+2)^2$是能开得尽方的因式，结合$a≥0$，开方后得$(a+2)\sqrt{a}$，不是最简二次根式。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{10xy}}{5}$；
(2) $\sqrt{x^2 + y^2}$是最简二次根式；
(3) $4\sqrt{2n}$；
(4) $(a+2)\sqrt{a}$。
【知识点】
最简二次根式定义、二次根式化简、因式分解
【点评】
本题考查最简二次根式的判定与二次根式的化简，覆盖了分式型、整数型、多项式型等多种类型的二次根式，需熟练运用最简二次根式的判定标准及二次根式化简的规律方法，有助于夯实二次根式相关的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
变式训练
3. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
(1) $\sqrt{3.5}$；
(2) $\sqrt{4\frac{1}{16}}$；
(3) $\sqrt{\frac{27}{3x}}$；
(4) $\sqrt{13^2 - 11^2}$；
(5) $\sqrt{25 - 10x + x^2}$（$x ≥ 5$）。
3. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
(1) $\sqrt{3.5}$；
(2) $\sqrt{4\frac{1}{16}}$；
(3) $\sqrt{\frac{27}{3x}}$；
(4) $\sqrt{13^2 - 11^2}$；
(5) $\sqrt{25 - 10x + x^2}$（$x ≥ 5$）。
答案
变式训练3.解：(1)原式$=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.(2)原式$=\dfrac{\sqrt{65}}{4}$.(3)原式$=\dfrac{3\sqrt{x}}{x}$.(4)原式$=4\sqrt{3}$.(5)原式$=x-5$.
解析
【解析】
(1) 先将小数化为分数：$\sqrt{3.5}=\sqrt{\frac{7}{2}}$，再分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，得$\frac{\sqrt{14}}{2}$；
(2) 先将带分数化为假分数：$\sqrt{4\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$，根据二次根式性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），得$\frac{\sqrt{65}}{4}$；
(3) 先约分：$\sqrt{\frac{27}{3x}}=\sqrt{\frac{9}{x}}$，再分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x}$，得$\frac{3\sqrt{x}}{x}$；
(4) 利用平方差公式计算被开方数：$13^2 - 11^2=(13-11)(13+11)=48$，化简$\sqrt{48}$得$4\sqrt{3}$；
(5) 将被开方数化为完全平方形式：$25 - 10x + x^2=(x-5)^2$，因$x≥5$，故$\sqrt{(x-5)^2}=x-5$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{65}}{4}$；(3) $\dfrac{3\sqrt{x}}{x}$；(4) $4\sqrt{3}$；(5) $x-5$
【知识点】
最简二次根式化简、二次根式的性质、因式分解公式应用
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，涵盖小数、带分数的转化，分母有理化，以及利用平方差、完全平方公式简化计算，需注意结合字母取值范围确定化简结果的符号。
【难度系数】
0.6
(1) 先将小数化为分数：$\sqrt{3.5}=\sqrt{\frac{7}{2}}$，再分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，得$\frac{\sqrt{14}}{2}$；
(2) 先将带分数化为假分数：$\sqrt{4\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$，根据二次根式性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），得$\frac{\sqrt{65}}{4}$；
(3) 先约分：$\sqrt{\frac{27}{3x}}=\sqrt{\frac{9}{x}}$，再分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x}$，得$\frac{3\sqrt{x}}{x}$；
(4) 利用平方差公式计算被开方数：$13^2 - 11^2=(13-11)(13+11)=48$，化简$\sqrt{48}$得$4\sqrt{3}$；
(5) 将被开方数化为完全平方形式：$25 - 10x + x^2=(x-5)^2$，因$x≥5$，故$\sqrt{(x-5)^2}=x-5$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{65}}{4}$；(3) $\dfrac{3\sqrt{x}}{x}$；(4) $4\sqrt{3}$；(5) $x-5$
【知识点】
最简二次根式化简、二次根式的性质、因式分解公式应用
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，涵盖小数、带分数的转化，分母有理化，以及利用平方差、完全平方公式简化计算，需注意结合字母取值范围确定化简结果的符号。
【难度系数】
0.6
