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例1
计算：
(1) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}$；
(2) $\frac{-\sqrt{45y^2}}{3\sqrt{5y}}$（$y ＞ 0$）；
(3) $\sqrt{\frac{2}{45}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}$；
(4) $\frac{1}{2}a\sqrt{ab^2} ÷ 4a\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a ＞ 0$，$b ＞ 0$）。
解：
规律方法
二次根式相除的规则
(1) 两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘。
(2) 被开方数相除时，可以先根据“除以一个不等于$0$的数等于乘这个数的倒数”进行变形，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果。
计算：
(1) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}$；
(2) $\frac{-\sqrt{45y^2}}{3\sqrt{5y}}$（$y ＞ 0$）；
(3) $\sqrt{\frac{2}{45}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}$；
(4) $\frac{1}{2}a\sqrt{ab^2} ÷ 4a\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a ＞ 0$，$b ＞ 0$）。
解：
规律方法
二次根式相除的规则
(1) 两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘。
(2) 被开方数相除时，可以先根据“除以一个不等于$0$的数等于乘这个数的倒数”进行变形，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果。
答案
【例1】解：(1)$\dfrac{3}{2}$.(2)$-\sqrt{y}$.(3)$\dfrac{1}{9}$.(4)$\dfrac{1}{8}b\sqrt{b}$.
解析
【解析】
(1) 根据二次根式的除法法则，将被开方数相除后化简：
$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$；
(2) 因为$y＞0$，系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，再化简：
$\frac{-\sqrt{45y^2}}{3\sqrt{5y}}=-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{45y^2}{5y}}=-\frac{1}{3}\sqrt{9y}=-\sqrt{y}$；
(3) 先将带分数化为假分数，再利用二次根式除法法则计算：
$\sqrt{\frac{2}{45}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}=(1÷\frac{3}{2})×\sqrt{\frac{2}{45}÷\frac{8}{5}}=\frac{2}{3}×\sqrt{\frac{2}{45}×\frac{5}{8}}=\frac{2}{3}×\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{6}=\frac{1}{9}$；
(4) 因为$a＞0$，$b＞0$，系数相除，被开方数相除后化简：
$\frac{1}{2}a\sqrt{ab^2} ÷ 4a\sqrt{\frac{a}{b}}=(\frac{1}{2}a÷4a)×\sqrt{ab^2÷\frac{a}{b}}=\frac{1}{8}×\sqrt{ab^2×\frac{b}{a}}=\frac{1}{8}×\sqrt{b^3}=\frac{1}{8}b\sqrt{b}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；(2) $\boldsymbol{-\sqrt{y}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{9}}$；(4) $\boldsymbol{\frac{1}{8}b\sqrt{b}}$
【知识点】
1. 二次根式的除法法则；2. 二次根式的化简；3. 分式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的除法运算，需熟练掌握二次根式相除的两种方法，注意结合字母的取值范围进行化简，计算过程中要关注系数、符号以及被开方数的运算细节，避免出错。
【难度系数】
0.8
(1) 根据二次根式的除法法则，将被开方数相除后化简：
$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$；
(2) 因为$y＞0$，系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，再化简：
$\frac{-\sqrt{45y^2}}{3\sqrt{5y}}=-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{45y^2}{5y}}=-\frac{1}{3}\sqrt{9y}=-\sqrt{y}$；
(3) 先将带分数化为假分数，再利用二次根式除法法则计算：
$\sqrt{\frac{2}{45}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}=(1÷\frac{3}{2})×\sqrt{\frac{2}{45}÷\frac{8}{5}}=\frac{2}{3}×\sqrt{\frac{2}{45}×\frac{5}{8}}=\frac{2}{3}×\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{6}=\frac{1}{9}$；
(4) 因为$a＞0$，$b＞0$，系数相除，被开方数相除后化简：
$\frac{1}{2}a\sqrt{ab^2} ÷ 4a\sqrt{\frac{a}{b}}=(\frac{1}{2}a÷4a)×\sqrt{ab^2÷\frac{a}{b}}=\frac{1}{8}×\sqrt{ab^2×\frac{b}{a}}=\frac{1}{8}×\sqrt{b^3}=\frac{1}{8}b\sqrt{b}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；(2) $\boldsymbol{-\sqrt{y}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{9}}$；(4) $\boldsymbol{\frac{1}{8}b\sqrt{b}}$
【知识点】
1. 二次根式的除法法则；2. 二次根式的化简；3. 分式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的除法运算，需熟练掌握二次根式相除的两种方法，注意结合字母的取值范围进行化简，计算过程中要关注系数、符号以及被开方数的运算细节，避免出错。
【难度系数】
0.8
变式训练
1. 计算：
(1) $\frac{-\sqrt{45}}{2\sqrt{20}}$；
(2) $\frac{9}{4}\sqrt{48} ÷ \frac{3}{8}\sqrt{3\frac{1}{5}}$；
(3) $\sqrt{6 × 10^2} ÷ \sqrt{1.2 × 10^3}$；
(4) $-\frac{2}{3}\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{\frac{b}{a}}$（$a ＞ 0$，$b ＞ 0$）。
1. 计算：
(1) $\frac{-\sqrt{45}}{2\sqrt{20}}$；
(2) $\frac{9}{4}\sqrt{48} ÷ \frac{3}{8}\sqrt{3\frac{1}{5}}$；
(3) $\sqrt{6 × 10^2} ÷ \sqrt{1.2 × 10^3}$；
(4) $-\frac{2}{3}\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{\frac{b}{a}}$（$a ＞ 0$，$b ＞ 0$）。
答案
变式训练1.解：(1)$-\dfrac{3}{4}$.(2)$6\sqrt{15}$.(3)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.(4)$-\dfrac{2}{3}a^{2}$.
解析
【解析】
(1) 化简二次根式：$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，则
$\frac{-\sqrt{45}}{2\sqrt{20}}=\frac{-3\sqrt{5}}{2×2\sqrt{5}}=-\frac{3}{4}$；
(2) 将带分数化为假分数：$3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}$，根据二次根式除法法则转化为乘法：
$\frac{9}{4}\sqrt{48} ÷ \frac{3}{8}\sqrt{\frac{16}{5}} = (\frac{9}{4}÷\frac{3}{8})×\sqrt{48÷\frac{16}{5}} = 6×\sqrt{15}=6\sqrt{15}$；
(3) 利用二次根式除法法则计算被开方数的商：
$\sqrt{6 × 10^2} ÷ \sqrt{1.2 × 10^3} = \sqrt{\frac{6×10^2}{1.2×10^3}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
(4) 由$a＞0$，$b＞0$，根据法则转化运算：
$-\frac{2}{3}\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{\frac{b}{a}} = -\frac{2}{3}\sqrt{a^3b×\frac{a}{b}} = -\frac{2}{3}\sqrt{a^4} = -\frac{2}{3}a^2$；
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{4}$；(2) $6\sqrt{15}$；(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(4) $-\dfrac{2}{3}a^{2}$
【知识点】
二次根式的除法运算、二次根式的化简、含字母的二次根式运算
【点评】
本题考查二次根式的除法运算，需熟练掌握二次根式除法法则，计算时注意系数与被开方数分别运算，含字母的运算要结合字母取值范围化简，确保结果最简。
【难度系数】
0.7
(1) 化简二次根式：$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，则
$\frac{-\sqrt{45}}{2\sqrt{20}}=\frac{-3\sqrt{5}}{2×2\sqrt{5}}=-\frac{3}{4}$；
(2) 将带分数化为假分数：$3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}$，根据二次根式除法法则转化为乘法：
$\frac{9}{4}\sqrt{48} ÷ \frac{3}{8}\sqrt{\frac{16}{5}} = (\frac{9}{4}÷\frac{3}{8})×\sqrt{48÷\frac{16}{5}} = 6×\sqrt{15}=6\sqrt{15}$；
(3) 利用二次根式除法法则计算被开方数的商：
$\sqrt{6 × 10^2} ÷ \sqrt{1.2 × 10^3} = \sqrt{\frac{6×10^2}{1.2×10^3}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
(4) 由$a＞0$，$b＞0$，根据法则转化运算：
$-\frac{2}{3}\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{\frac{b}{a}} = -\frac{2}{3}\sqrt{a^3b×\frac{a}{b}} = -\frac{2}{3}\sqrt{a^4} = -\frac{2}{3}a^2$；
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{4}$；(2) $6\sqrt{15}$；(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(4) $-\dfrac{2}{3}a^{2}$
【知识点】
二次根式的除法运算、二次根式的化简、含字母的二次根式运算
【点评】
本题考查二次根式的除法运算，需熟练掌握二次根式除法法则，计算时注意系数与被开方数分别运算，含字母的运算要结合字母取值范围化简，确保结果最简。
【难度系数】
0.7
例2
化简：
(1) $\sqrt{2\frac{23}{49}}$；
(2) $\sqrt{\frac{-63}{-25}}$；
(3) $\sqrt{\frac{x^2y^3}{9z^4}}$($x ≥ 0$，$y ≥ 0$)；
(4) $\sqrt{(1\frac{1}{9})^2 - (\frac{2}{3})^2}$。
思路分析
思考：第(1)小题的被开方数是带分数，先化为
解：
规律方法
逆用二次根式的除法法则化简的方法
(1) 若被开方数的分母是一个完全平方数(或完全平方式)，则直接逆用二次根式的除法法则进行化简。
(2) 若被开方数的分母不是完全平方数(或完全平方式)，可根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘一个不等于零的数或整式，使分母变成一个完全平方数(或完全平方式)，再逆用二次根式的除法法则进行化简。
化简：
(1) $\sqrt{2\frac{23}{49}}$；
(2) $\sqrt{\frac{-63}{-25}}$；
(3) $\sqrt{\frac{x^2y^3}{9z^4}}$($x ≥ 0$，$y ≥ 0$)；
(4) $\sqrt{(1\frac{1}{9})^2 - (\frac{2}{3})^2}$。
思路分析
思考：第(1)小题的被开方数是带分数，先化为
假分数
；第(2)小题的被开方数的分子、分母含有负
号，先根据分数的基本性质，分子、分母同时乘或除以$-1$
，将被开方数转化为正数；第(4)小题的被开方数是多项式，则先进行因式分解
。解：
规律方法
逆用二次根式的除法法则化简的方法
(1) 若被开方数的分母是一个完全平方数(或完全平方式)，则直接逆用二次根式的除法法则进行化简。
(2) 若被开方数的分母不是完全平方数(或完全平方式)，可根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘一个不等于零的数或整式，使分母变成一个完全平方数(或完全平方式)，再逆用二次根式的除法法则进行化简。
答案
【例2】
思路分析
思考：假分数 负 $-1$ 因式分解
解：(1)原式$=\dfrac{11}{7}$.(2)原式$=\dfrac{3\sqrt{7}}{5}$.(3)原式$=\dfrac{xy\sqrt{y}}{3z^{2}}$.(4)原式$=\dfrac{8}{9}$.
思路分析
思考：假分数 负 $-1$ 因式分解
解：(1)原式$=\dfrac{11}{7}$.(2)原式$=\dfrac{3\sqrt{7}}{5}$.(3)原式$=\dfrac{xy\sqrt{y}}{3z^{2}}$.(4)原式$=\dfrac{8}{9}$.
解析
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再逆用二次根式的除法法则化简：
$\sqrt{2\frac{23}{49}}=\sqrt{\frac{2×49+23}{49}}=\sqrt{\frac{121}{49}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}}=\frac{11}{7}$；
(2) 先根据分数性质将被开方数化为正数，再逆用二次根式的除法法则化简：
$\sqrt{\frac{-63}{-25}}=\sqrt{\frac{63}{25}}=\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{25}}=\frac{3\sqrt{7}}{5}$；
(3) 结合$x≥0$，$y≥0$的条件，逆用二次根式的除法法则化简：
$\sqrt{\frac{x^2y^3}{9z^4}}=\frac{\sqrt{x^2y^3}}{\sqrt{9z^4}}=\frac{xy\sqrt{y}}{3z^2}$；
(4) 先利用平方差公式对被开方数因式分解，再计算化简：
$\sqrt{(1\frac{1}{9})^2 - (\frac{2}{3})^2}=\sqrt{(1\frac{1}{9}+\frac{2}{3})(1\frac{1}{9}-\frac{2}{3})}=\sqrt{(\frac{10}{9}+\frac{6}{9})(\frac{10}{9}-\frac{6}{9})}=\sqrt{\frac{16}{9}×\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{64}{81}}=\frac{8}{9}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{11}{7}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3\sqrt{7}}{5}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{xy\sqrt{y}}{3z^2}}$；(4) $\boldsymbol{\frac{8}{9}}$
【知识点】
二次根式的化简、平方差公式的应用、分式的基本性质
【点评】
本题考查二次根式的综合化简运算，涉及带分数转化、负号处理、平方差公式运用等多种场景，需熟练掌握二次根式的除法法则，同时注意字母取值范围对化简结果的限制，提升根式运算的综合能力。
【难度系数】
0.8
(1) 先将带分数化为假分数，再逆用二次根式的除法法则化简：
$\sqrt{2\frac{23}{49}}=\sqrt{\frac{2×49+23}{49}}=\sqrt{\frac{121}{49}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}}=\frac{11}{7}$；
(2) 先根据分数性质将被开方数化为正数，再逆用二次根式的除法法则化简：
$\sqrt{\frac{-63}{-25}}=\sqrt{\frac{63}{25}}=\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{25}}=\frac{3\sqrt{7}}{5}$；
(3) 结合$x≥0$，$y≥0$的条件，逆用二次根式的除法法则化简：
$\sqrt{\frac{x^2y^3}{9z^4}}=\frac{\sqrt{x^2y^3}}{\sqrt{9z^4}}=\frac{xy\sqrt{y}}{3z^2}$；
(4) 先利用平方差公式对被开方数因式分解，再计算化简：
$\sqrt{(1\frac{1}{9})^2 - (\frac{2}{3})^2}=\sqrt{(1\frac{1}{9}+\frac{2}{3})(1\frac{1}{9}-\frac{2}{3})}=\sqrt{(\frac{10}{9}+\frac{6}{9})(\frac{10}{9}-\frac{6}{9})}=\sqrt{\frac{16}{9}×\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{64}{81}}=\frac{8}{9}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{11}{7}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3\sqrt{7}}{5}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{xy\sqrt{y}}{3z^2}}$；(4) $\boldsymbol{\frac{8}{9}}$
【知识点】
二次根式的化简、平方差公式的应用、分式的基本性质
【点评】
本题考查二次根式的综合化简运算，涉及带分数转化、负号处理、平方差公式运用等多种场景，需熟练掌握二次根式的除法法则，同时注意字母取值范围对化简结果的限制，提升根式运算的综合能力。
【难度系数】
0.8
