1. 下列根式中，是最简二次根式的是()

A.$\sqrt{\frac{1}{6}}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{20}$

1.B

【解析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{\frac{1}{6}}$的被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{6}$的被开方数不含分母，且6无法分解出开得尽方的因数，是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题考查最简二次根式的判断，需紧扣最简二次根式的两个判定条件，对每个选项逐一分析判断。
【难度系数】
0.8

2. 下列计算正确的是（）

A.$\sqrt{\frac{-2}{-3}} = \frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}$
B.$\sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{\sqrt{3a}}{3}$
C.$3\sqrt{\frac{a}{3}} = \sqrt{a}$
D.$\sqrt{\frac{a}{3}} = 3\sqrt{3a}$

2.B

【解析】
逐一分析各选项：
选项A：二次根式的被开方数需为非负数，$\sqrt{-2}$与$\sqrt{-3}$无意义，故A错误；
选项B：$\sqrt{\frac{a}{3}}=\sqrt{\frac{3a}{9}}=\frac{\sqrt{3a}}{3}$（$a≥0$），变形正确，故B正确；
选项C：$3\sqrt{\frac{a}{3}}=3×\frac{\sqrt{3a}}{3}=\sqrt{3a}≠\sqrt{a}$，故C错误；
选项D：$\sqrt{\frac{a}{3}}=\frac{\sqrt{3a}}{3}≠3\sqrt{3a}$，故D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简、分母有理化、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的相关性质与化简，重点考查分母有理化的正确操作，需注意二次根式被开方数的非负性，属于基础题型，易在根式变形时出现计算错误。
【难度系数】
0.7

3. 如果$\sqrt{\frac{x}{1 - x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}}$，那么（）

A.$x ≥ 0$
B.$x ＜ 1$
C.$0 ≤ x ＜ 1$

D.$x ≥ 0$，且$x ≠ 1$

3.C

【解析】
根据二次根式有意义的条件及分式分母不为零的要求：
1. 对于分子$\sqrt{x}$，被开方数需非负，即$x≥0$；
2. 对于分母$\sqrt{1-x}$，被开方数需为正，即$1-x＞0$，解得$x＜1$。
综合以上两个条件，可得$0≤ x＜1$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的综合条件，需同时满足分子的被开方数非负、分母的被开方数为正，避免遗漏条件导致错解。
【难度系数】
0.7

4. 若$\sqrt{a}$是最简二次根式，则$a$的值可能是()

A.$-2$
B.$\frac{2}{3}$
C.$2$
D.$0.1$

4.C

【解析】
逐一分析选项：
1. 选项A：$a=-2$，负数没有算术平方根，$\sqrt{-2}$无意义，不符合要求；
2. 选项B：$a=\frac{2}{3}$，被开方数是分数，不满足最简二次根式“被开方数不含分母”的要求，不符合；
3. 选项C：$a=2$，$\sqrt{2}$的被开方数2是整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合要求；
4. 选项D：$a=0.1=\frac{1}{10}$，被开方数是分数，不满足最简二次根式的要求，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式定义、二次根式有意义条件
【点评】
本题主要考查最简二次根式的定义及二次根式有意义的条件，解题关键是准确掌握最简二次根式的核心要点，同时注意被开方数需为非负数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

5. 已知$\sqrt{5} = a$，$\sqrt{14} = b$，则$\sqrt{0.063} =$()

A.$\frac{ab}{10}$
B.$\frac{3ab}{10}$
C.$\frac{ab}{100}$
D.$\frac{3ab}{100}$

5.D

【解析】
先将被开方数转化为便于利用已知条件的形式：
$\sqrt{0.063} = \sqrt{\frac{63}{1000}} = \sqrt{\frac{630}{10000}} = \frac{\sqrt{630}}{100}$
而$630 = 9×5×14$，则$\sqrt{630} = \sqrt{9×5×14} = 3×\sqrt{5}×\sqrt{14}$
已知$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{14}=b$，代入得$\sqrt{630}=3ab$
因此$\sqrt{0.063} = \frac{3ab}{100}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简、代数式代入求值
【点评】
本题考查二次根式的化简变形及代数式代入求值，需灵活运用二次根式的性质，将被开方数分解为含已知根式的形式，考验学生的运算变形能力。
【难度系数】
0.6

6. $\frac{\sqrt{18} × \sqrt{2}}{\sqrt{3}} =$。

6.$2\sqrt{3}$

【解析】
1. 计算分子部分：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，可得$\sqrt{18}×\sqrt{2}=\sqrt{18×2}=\sqrt{36}=6$；
2. 进行除法运算并分母有理化：$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的乘法、分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的乘法法则及分母有理化的方法，计算时注意步骤规范。
【难度系数】
0.8

7. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
(1) $\sqrt{2.5}$；
(2) $\sqrt{\frac{8}{5}}$；
(3) $\frac{\sqrt{27}}{3}$；
(4) $\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}$；
(5) $2\sqrt{4a^3b^2c}$（$a$，$b$，$c$均大于$0$）。

7.解：(1)原式$=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.(2)原式$=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$.(3)原式$=\sqrt{3}$.(4)原式$=\dfrac{\sqrt{5}}{30}$.(5)原式$=4ab\sqrt{ac}$.

【解析】
(1) 原式$=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{5×2}}{\sqrt{2×2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$；
(2) 原式$=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
(3) 原式$=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$；
(4) 原式$=\frac{\sqrt{2}}{3×2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{6\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}$；
(5) 因为$a,b,c＞0$，原式$=2×\sqrt{4}×\sqrt{a^3}×\sqrt{b^2}×\sqrt{c}=2×2× a\sqrt{a}× b×\sqrt{c}=4ab\sqrt{ac}$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$；(2) $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$；(3) $\sqrt{3}$；(4) $\dfrac{\sqrt{5}}{30}$；(5) $4ab\sqrt{ac}$
【知识点】
最简二次根式化简、分母有理化、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础化简运算，需掌握小数化分数、利用二次根式性质化简被开方数、分母有理化等方法，注意字母取值范围对结果的影响，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 计算：
(1) $\frac{\sqrt{8x^3}}{\sqrt{2x}}$；
(2) $\sqrt{6.5} ÷ \sqrt{0.5}$；
(3) $\frac{\sqrt{3} × \sqrt{15}}{\sqrt{5}}$；
(4) $\sqrt{4\frac{1}{2}} ÷ (-\sqrt{2\frac{2}{3}})$；
(5) $\sqrt{1\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} × \sqrt{1\frac{2}{5}}$；
(6) $\sqrt{3\frac{1}{2}} ÷ 3\sqrt{3} × (-3\sqrt{\frac{6}{7}})$。

8.解：(1)$2x$.(2)$\sqrt{13}$.(3)3.(4)$-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.(5)1.(6)$-1$.

【解析】
(1) 根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\frac{\sqrt{8x^3}}{\sqrt{2x}}=\sqrt{\frac{8x^3}{2x}}=\sqrt{4x^2}=2x$（$x＞0$）。
(2) 利用二次根式的除法法则：
$\sqrt{6.5} ÷ \sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{6.5}{0.5}}=\sqrt{13}$。
(3) 先计算分子的乘法，再进行除法运算：
$\frac{\sqrt{3} × \sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$。
(4) 先将带分数化为假分数，再根据二次根式除法法则计算：
$\sqrt{4\frac{1}{2}} ÷ (-\sqrt{2\frac{2}{3}})=-\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{8}{3}}=-\sqrt{\frac{9}{2}×\frac{3}{8}}=-\sqrt{\frac{27}{16}}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
(5) 先将带分数化为假分数，再从左到右依次计算：
$\sqrt{1\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} × \sqrt{1\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$。
(6) 先将带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除运算法则计算，注意符号：
$\sqrt{3\frac{1}{2}} ÷ 3\sqrt{3} × (-3\sqrt{\frac{6}{7}})=(\frac{1}{3}×(-3))×\sqrt{\frac{7}{2}÷3×\frac{6}{7}}=-1×\sqrt{\frac{7}{2}×\frac{1}{3}×\frac{6}{7}}=-1×\sqrt{1}=-1$。
【答案】
(1) $2x$；(2) $\sqrt{13}$；(3) $3$；(4) $-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$；(5) $1$；(6) $-1$
【知识点】
二次根式乘除运算、带分数化假分数
【点评】
本题主要考查二次根式乘除运算法则的应用，解题时需注意符号的处理，以及带分数向假分数的转化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7