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22. (本小题 8 分)如图①,长方形纸片的面积为$18\mathrm{cm}^2$,相邻两边长之比为$2:3$.将 4 张这样的长方形纸片拼接成一个正方形$ABCD$,中间留有空隙正方形$EFGH$,如图②.求:
(1) 正方形$ABCD$的边长和面积;
(2) 正方形$EFGH$的边长和面积.
(第22题)
(1) 正方形$ABCD$的边长和面积;
(2) 正方形$EFGH$的边长和面积.
(第22题)答案
（1）设长方形相邻两边长分别为$2x\ \mathrm{cm}$和$3x\ \mathrm{cm}$。
由面积公式得：$2x · 3x = 18$，即$6x^2 = 18$，解得$x^2 = 3$，$x = \sqrt{3}$（$x＞0$）。
则长方形长为$3x = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$2x = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
正方形$ABCD$的边长为$3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，面积为$(5\sqrt{3})^2 = 75\ \mathrm{cm}^2$。
（2）正方形$EFGH$的边长为$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，面积为$(\sqrt{3})^2 = 3\ \mathrm{cm}^2$。
由面积公式得：$2x · 3x = 18$，即$6x^2 = 18$，解得$x^2 = 3$，$x = \sqrt{3}$（$x＞0$）。
则长方形长为$3x = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$2x = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
正方形$ABCD$的边长为$3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，面积为$(5\sqrt{3})^2 = 75\ \mathrm{cm}^2$。
（2）正方形$EFGH$的边长为$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，面积为$(\sqrt{3})^2 = 3\ \mathrm{cm}^2$。
23. (本小题 8 分)有一组等式:$\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{2^2 × 2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.根号里的因数 2 经过适当演变后跑到了根号的外面.我们不妨把这种现象称为穿墙,具有这一性质的数还有许多,如:$\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$,$\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$.
(1) 请写出一个有穿墙现象的数,并给出证明.
(2) 你能只用一个正整数$n(n ≥ 2)$来表示含有上述规律的等式吗?
(3) 按此规律,若$\sqrt{a\frac{8}{b}} = a\sqrt{\frac{8}{b}}(a,b$为正整数),则$a + b$的值为.
(1) 请写出一个有穿墙现象的数,并给出证明.
(2) 你能只用一个正整数$n(n ≥ 2)$来表示含有上述规律的等式吗?
(3) 按此规律,若$\sqrt{a\frac{8}{b}} = a\sqrt{\frac{8}{b}}(a,b$为正整数),则$a + b$的值为.
答案
(1) 写出数：$\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$。证明：$\sqrt{5\frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{5×24 + 5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}} = \sqrt{\frac{5^2×5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$。
(2) $\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}$（$n≥2$，$n$为正整数）。
(3) 71
(2) $\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}$（$n≥2$，$n$为正整数）。
(3) 71
