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24. (本小题 8 分)在招商引资期间,某市把已倒闭的机床厂租给外地某投资商,该投资商为减少固定资产投资,将原来的正方形场地改建成面积为$800\mathrm{m}^2$的长方形场地,且其长和宽的比为$5:2$.
(1) 求改建后的长方形场地的长和宽.
(2) 如果把原来面积为$900\mathrm{m}^2$的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用,作为新长方形场地的围墙,这些金属栅栏围墙是否够用? 说明理由.
(1) 求改建后的长方形场地的长和宽.
(2) 如果把原来面积为$900\mathrm{m}^2$的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用,作为新长方形场地的围墙,这些金属栅栏围墙是否够用? 说明理由.
答案
(1)设长方形场地的长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$.
由题意得：$5x · 2x = 800$，
即$10x^2 = 800$，$x^2 = 80$，
解得$x = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$（$x ＞ 0$）.
$\therefore$长为$5x = 5 × 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，宽为$2x = 2 × 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\ \mathrm{m}$.
(2)原来正方形场地的边长为$\sqrt{900} = 30\ \mathrm{m}$，
其周长（栅栏长度）为$4 × 30 = 120\ \mathrm{m}$.
新长方形场地的周长为$2 × (20\sqrt{5} + 8\sqrt{5}) = 2 × 28\sqrt{5} = 56\sqrt{5}\ \mathrm{m}$.
$\because (56\sqrt{5})^2 = 56^2 × 5 = 3136 × 5 = 15680$，$120^2 = 14400$，
且$15680 ＞ 14400$，$\therefore 56\sqrt{5} ＞ 120$.
故这些金属栅栏围墙不够用.
由题意得：$5x · 2x = 800$，
即$10x^2 = 800$，$x^2 = 80$，
解得$x = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$（$x ＞ 0$）.
$\therefore$长为$5x = 5 × 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，宽为$2x = 2 × 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\ \mathrm{m}$.
(2)原来正方形场地的边长为$\sqrt{900} = 30\ \mathrm{m}$，
其周长（栅栏长度）为$4 × 30 = 120\ \mathrm{m}$.
新长方形场地的周长为$2 × (20\sqrt{5} + 8\sqrt{5}) = 2 × 28\sqrt{5} = 56\sqrt{5}\ \mathrm{m}$.
$\because (56\sqrt{5})^2 = 56^2 × 5 = 3136 × 5 = 15680$，$120^2 = 14400$，
且$15680 ＞ 14400$，$\therefore 56\sqrt{5} ＞ 120$.
故这些金属栅栏围墙不够用.
