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1. 已知$△ ABC$的三边长分别为$6$，$8$，$10$，则$△ ABC$的面积为()
A.$12$
B.$24$
C.$30$
D.$48$
A.$12$
B.$24$
C.$30$
D.$48$
答案
B
解析
首先判断三角形是否为直角三角形，根据勾股定理，若$6^2 + 8^2 = 10^2$，即$36 + 64 = 100$，等式成立，故$△ABC$为直角三角形，直角边长为$6$和$8$。直角三角形的面积公式为$\frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高}$，因此面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$BC = 2$，则$AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}$的值为()
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案
C
解析
在直角三角形中，根据勾股定理，有$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$。
已知斜边$BC = 2$，则$BC^{2} = 2^{2} = 4$。
所以$AB^{2} + AC^{2} + BC^{2} = BC^{2} + BC^{2} = 4 + 4 = 8$。
已知斜边$BC = 2$，则$BC^{2} = 2^{2} = 4$。
所以$AB^{2} + AC^{2} + BC^{2} = BC^{2} + BC^{2} = 4 + 4 = 8$。
3. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是()
A.$1$，$1$，$\sqrt{2}$
B.$1$，$\sqrt{3}$，$2$
C.$\sqrt{3}$，$2$，$\sqrt{5}$
D.$\frac{3}{2}$，$2$，$\frac{5}{2}$
A.$1$，$1$，$\sqrt{2}$
B.$1$，$\sqrt{3}$，$2$
C.$\sqrt{3}$，$2$，$\sqrt{5}$
D.$\frac{3}{2}$，$2$，$\frac{5}{2}$
答案
C
解析
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为最长边），则该三角形为直角三角形，对各选项逐一检验：
选项A：因为$1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 = (\sqrt{2})^2$，所以能组成直角三角形。
选项B：因为$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$，所以能组成直角三角形。
选项C：因为$(\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7≠(\sqrt{5})^2 = 5$，所以不能组成直角三角形。
选项D：因为$(\frac{3}{2})^2 + 2^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9}{4}+\frac{16}{4}=\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$，所以能组成直角三角形。
选项A：因为$1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 = (\sqrt{2})^2$，所以能组成直角三角形。
选项B：因为$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$，所以能组成直角三角形。
选项C：因为$(\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7≠(\sqrt{5})^2 = 5$，所以不能组成直角三角形。
选项D：因为$(\frac{3}{2})^2 + 2^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9}{4}+\frac{16}{4}=\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$，所以能组成直角三角形。
4. 如图，在长方形$ABCD$中，点$E$在边$AD$上，$BE = BC$，连接$CE$.若$AB = 3$，$AE = 4$，则$CE$的长为()
A.$1$
B.$5$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
A.$1$
B.$5$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
答案
D
解析
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AD=BC，AB=CD=3。
在Rt△ABE中，AB=3，AE=4，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵BE=BC，∴BC=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=5-4=1。
在Rt△CDE中，CD=3，DE=1，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
5. 在平面直角坐标系中，点$A(3,3)$，$B(6,1)$之间的距离为()
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{13}$
D.$4$
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{13}$
D.$4$
答案
C
解析
已知点$A(3,3)$，$B(6,1)$，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，可得$AB=\sqrt{(6 - 3)^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}$。
6. 在$△ ABC$中，$AB = 17$，$AC = 10$，边$BC$上的高$AD = 8$，则边$BC$的长为()
A.$21$
B.$15$
C.$9$
D.$9$或$21$
A.$21$
B.$15$
C.$9$
D.$9$或$21$
答案
D
解析
在$△ABC$中，$AD$为$BC$边上的高，$D$在$BC$上。
分两种情况讨论：
1. 当$D$在$BC$之间时：
在$Rt△ABD$中，$AB = 17$，$AD = 8$，由勾股定理：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$。
在$Rt△ACD$中，$AC = 10$，$AD = 8$，同理：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
此时$BC = BD + CD = 15 + 6 = 21$。
2. 当$D$在$BC$延长线上时：
$BD = 15$（同上），$CD = 6$，但$D$在$BC$反向延长线上，故$BC = BD - CD = 15 - 6 = 9$。
综上，$BC$的可能长度为$21$或$9$，对应选项D。
7. 已知一个等腰三角形的一个底角为$15^{\circ}$，一条腰长为$a$，则这个等腰三角形一腰上的高为()
A.$\frac{1}{2}a$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
C.$\sqrt{3}a$
D.$3a$
A.$\frac{1}{2}a$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
C.$\sqrt{3}a$
D.$3a$
答案
A
解析
在等腰三角形中，底角为15°，则顶角为180°-15°×2=150°。过一底角顶点作另一腰的高，因顶角为钝角，高在三角形外部，形成含30°角的直角三角形（顶角的补角为30°）。腰长为斜边a，30°角所对直角边（高）为斜边一半，即高为$\frac{1}{2}a$。
8. 已知$M$，$N$是线段$AB$上的两点，$AM = MN = 4$，$BN = 2$，先以点$A$为圆心，$AN$的长为半径画弧；再以点$B$为圆心，$BM$的长为半径画弧，两弧交于点$C$，连接$AC$，$BC$，则$△ ABC$一定是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
B
解析
∵AM=MN=4，BN=2，∴AB=AM+MN+BN=4+4+2=10。
AN=AM+MN=4+4=8，故AC=AN=8；
BM=BN+MN=2+4=6，故BC=BM=6。
在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10。
∵6²+8²=36+64=100=10²，即BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形。
AN=AM+MN=4+4=8，故AC=AN=8；
BM=BN+MN=2+4=6，故BC=BM=6。
在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10。
∵6²+8²=36+64=100=10²，即BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形。
