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10. 观察表格内容，回答下列问题.
(1) 请分别探究 $ a,b,c $ 与 $ n $ 之间的关系，并用含 $ n(n ＞ 1) $ 的式子表示：$ a = $，$ b = $，$ c = $；
(2) 判断以 $ a,b,c $ 为边的三角形是否为直角三角形，并给出证明.
(1) 请分别探究 $ a,b,c $ 与 $ n $ 之间的关系，并用含 $ n(n ＞ 1) $ 的式子表示：$ a = $，$ b = $，$ c = $；
(2) 判断以 $ a,b,c $ 为边的三角形是否为直角三角形，并给出证明.
答案
(1) $a = n^2 - 1$，$b = 2n$，$c = n^2 + 1$。
(2) 是直角三角形，证明如下：
$a^2 + b^2$
$ = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2$
$ = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2$
$ = n^4 + 2n^2 + 1$
$ = (n^2 + 1)^2$
$ = c^2$
所以以 $a,b,c$ 为边的三角形是直角三角形。
(2) 是直角三角形，证明如下：
$a^2 + b^2$
$ = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2$
$ = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2$
$ = n^4 + 2n^2 + 1$
$ = (n^2 + 1)^2$
$ = c^2$
所以以 $a,b,c$ 为边的三角形是直角三角形。
11. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD = 2\sqrt{2} $，$ CD = 2 $，$ ∠ B = 30^{\circ} $，过点 $ A $ 作 $ AE ⊥ BC $，垂足为 $ E $，$ AE = 1 $，且 $ E $ 是 $ BC $ 的中点.求 $ ∠ BCD $ 的度数.
答案
120°
解析
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=30°，AE=1，
∴AB=2AE=2（30°角所对直角边是斜边一半），
BE=√(AB² - AE²)=√(2² - 1²)=√3。
∵E是BC中点，∴EC=BE=√3。
在Rt△AEC中，AE=1，EC=√3，
AC=√(AE² + EC²)=√(1² + (√3)²)=√4=2。
在△ACD中，AC=2，CD=2，AD=2√2，
∵AC² + CD²=2² + 2²=8=(2√2)²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）。
在Rt△AEC中，tan∠ACE=AE/EC=1/√3=√3/3，
∴∠ACE=30°，即∠ACB=30°。
∠BCD=∠ACB + ∠ACD=30° + 90°=120°。
∴AB=2AE=2（30°角所对直角边是斜边一半），
BE=√(AB² - AE²)=√(2² - 1²)=√3。
∵E是BC中点，∴EC=BE=√3。
在Rt△AEC中，AE=1，EC=√3，
AC=√(AE² + EC²)=√(1² + (√3)²)=√4=2。
在△ACD中，AC=2，CD=2，AD=2√2，
∵AC² + CD²=2² + 2²=8=(2√2)²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）。
在Rt△AEC中，tan∠ACE=AE/EC=1/√3=√3/3，
∴∠ACE=30°，即∠ACB=30°。
∠BCD=∠ACB + ∠ACD=30° + 90°=120°。
如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ ABC = 90^{\circ} $，$ AB = 8 $，$ BC = 6 $，$ CD = 10 $，$ AD = 10\sqrt{2} $.连接 $ BD $，求 $ BD $ 的长.
答案
