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9. 如图，正方形$ABGF$和正方形$CDBE$的面积分别是$100$和$36$，则以$AD$为直径的半圆的面积是()
A.$4π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$16π$
A.$4π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$16π$
答案
B
解析
∵正方形ABGF面积为100，∴AB=√100=10。
∵正方形CDBE面积为36，∴BD=√36=6。
∵∠ADB=90°，∴AD²=AB²+BD²=10²+6²=136？
（修正：∠ADB=90°，AD²=AB²-BD²=10²-6²=64，AD=8）
半圆半径为AD/2=4，面积=1/2×π×4²=8π。
10. 如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形拼成的，已知大正方形的面积为$24$，小正方形的面积为$4$.现将这四个直角三角形拼成如图②所示的图案，则图②中大正方形的面积为()
A.$24$
B.$36$
C.$40$
D.$44$
A.$24$
B.$36$
C.$40$
D.$44$
答案
D
解析
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$（$a ＞ b$），斜边为$c$。
图①中，大正方形面积为$c^2 = 24$，小正方形面积为$(a - b)^2 = 4$。
四个直角三角形面积总和为$24 - 4 = 20$，即$4×\frac{1}{2}ab = 20$，得$ab = 10$。
由$(a - b)^2 = 4$，展开得$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，又$a^2 + b^2 = c^2 = 24$，代入得$24 - 2×10 = 4$，验证成立。
图②中，四个直角三角形拼成的大正方形边长为$a + b$，其面积为$(a + b)^2$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 24 + 2×10 = 44$。
图①中，大正方形面积为$c^2 = 24$，小正方形面积为$(a - b)^2 = 4$。
四个直角三角形面积总和为$24 - 4 = 20$，即$4×\frac{1}{2}ab = 20$，得$ab = 10$。
由$(a - b)^2 = 4$，展开得$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，又$a^2 + b^2 = c^2 = 24$，代入得$24 - 2×10 = 4$，验证成立。
图②中，四个直角三角形拼成的大正方形边长为$a + b$，其面积为$(a + b)^2$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 24 + 2×10 = 44$。
11. 若一个等边三角形的边长为$2$，则它的面积为.
答案
作等边三角形一边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得高平分底边。
根据勾股定理，高$h = \sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得该等边三角形面积$S=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
故答案为$\sqrt{3}$。
根据勾股定理，高$h = \sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得该等边三角形面积$S=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
故答案为$\sqrt{3}$。
12. 如图，点$E$在正方形$ABCD$内，满足$∠ AEB = 90^{\circ}$，$AE = 6$，$BE = 8$，则阴影部分的面积是.
答案
∵ $ ∠ AEB = 90° $, $ AE = 6 $, $ BE = 8 $,
∴ 在直角三角形 $ △ AEB $ 中，由勾股定理，有：
$ AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $，
正方形 $ ABCD $ 的面积为：
$ S_{ABCD} = AB^2 = 10^2 = 100 $，
直角三角形 $ △ AEB $ 的面积为：
$ S_{△ AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $，
阴影部分的面积为正方形面积减去直角三角形面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{ABCD} - S_{△ AEB} = 100 - 24 = 76 $。
∴ 阴影部分的面积是 $ 76 $。
▐
∴ 在直角三角形 $ △ AEB $ 中，由勾股定理，有：
$ AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $，
正方形 $ ABCD $ 的面积为：
$ S_{ABCD} = AB^2 = 10^2 = 100 $，
直角三角形 $ △ AEB $ 的面积为：
$ S_{△ AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $，
阴影部分的面积为正方形面积减去直角三角形面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{ABCD} - S_{△ AEB} = 100 - 24 = 76 $。
∴ 阴影部分的面积是 $ 76 $。
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13. 如图，长为$3\ \mathrm{m}$的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为$1.8\ \mathrm{m}$，则梯子顶端的高度$h$为$\mathrm{m}$.
答案
2.4
解析
解：由题意知，梯子、墙与地面构成直角三角形，梯子长为斜边，底端离墙脚距离为一条直角边，顶端高度$h$为另一条直角边。
根据勾股定理：$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
$h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
$h = \sqrt{5.76} = 2.4$
根据勾股定理：$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
$h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
$h = \sqrt{5.76} = 2.4$
