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14. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知$OA = OB$，点$A$的坐标是$(1,1)$，点$B$在$x$轴的正半轴上，则点$B$的坐标是.
答案
设点$B$的坐标为$(x,0)$，其中$x＞0$。
因为$OA = OB$，点$A$的坐标是$(1,1)$，根据两点间距离公式，$OA=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，$OB=\sqrt{(x-0)^2+(0-0)^2}=|x|$。
又因为点$B$在$x$轴正半轴上，所以$x＞0$，则$OB=x$。
由$OA = OB$可得$x=\sqrt{2}$。
故点$B$的坐标是$(\sqrt{2},0)$。
$(\sqrt{2},0)$
因为$OA = OB$，点$A$的坐标是$(1,1)$，根据两点间距离公式，$OA=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，$OB=\sqrt{(x-0)^2+(0-0)^2}=|x|$。
又因为点$B$在$x$轴正半轴上，所以$x＞0$，则$OB=x$。
由$OA = OB$可得$x=\sqrt{2}$。
故点$B$的坐标是$(\sqrt{2},0)$。
$(\sqrt{2},0)$
15. 如图，在正方形网格中，$P$，$A$，$B$是网格线的交点，则$∠ PAB+∠ PBA$的度数是.
答案
连接AP，BP，设每个小正方形边长为1，建立坐标系，令A(0,0)，B(4,0)，P(1,2)。
计算PA：$\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$；
计算PB：$\sqrt{(4-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{13}$；
计算AB：$4-0=4$。
延长AP至点C，使PC=PB，连接BC。设C点坐标为$(x,y)$，由AP方向向量$(1,2)$，设$PC=PB=\sqrt{13}$，则$C(1+\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}},2+\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{5}})$（此步可简化，八年级通过网格构造）。
通过网格观察，构造等腰直角三角形，可得∠APB=135°。
在△PAB中，∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°=45°。
45°
计算PA：$\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$；
计算PB：$\sqrt{(4-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{13}$；
计算AB：$4-0=4$。
延长AP至点C，使PC=PB，连接BC。设C点坐标为$(x,y)$，由AP方向向量$(1,2)$，设$PC=PB=\sqrt{13}$，则$C(1+\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}},2+\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{5}})$（此步可简化，八年级通过网格构造）。
通过网格观察，构造等腰直角三角形，可得∠APB=135°。
在△PAB中，∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°=45°。
45°
16. 观察下列几组勾股数：$3$，$4$，$5$；$5$，$12$，$13$；$7$，$24$，$25$；$9$，$40$，$41$；$···$照此规律，第$6$组勾股数为.
答案
第1组：n=1，a=2×1+1=3，b=2×1×(1+1)=4，c=2×1²+2×1+1=5；
第2组：n=2，a=2×2+1=5，b=2×2×(2+1)=12，c=2×2²+2×2+1=13；
第3组：n=3，a=2×3+1=7，b=2×3×(3+1)=24，c=2×3²+2×3+1=25；
第4组：n=4，a=2×4+1=9，b=2×4×(4+1)=40，c=2×4²+2×4+1=41；
规律：第n组勾股数为(2n+1，2n(n+1)，2n²+2n+1)。
第6组：n=6，a=2×6+1=13，b=2×6×(6+1)=84，c=2×6²+2×6+1=85。
13，84，85
第2组：n=2，a=2×2+1=5，b=2×2×(2+1)=12，c=2×2²+2×2+1=13；
第3组：n=3，a=2×3+1=7，b=2×3×(3+1)=24，c=2×3²+2×3+1=25；
第4组：n=4，a=2×4+1=9，b=2×4×(4+1)=40，c=2×4²+2×4+1=41；
规律：第n组勾股数为(2n+1，2n(n+1)，2n²+2n+1)。
第6组：n=6，a=2×6+1=13，b=2×6×(6+1)=84，c=2×6²+2×6+1=85。
13，84，85
17. 如图，$△ ABD$与$△ ACE$都是等腰直角三角形，$∠ BAD = ∠ CAE = 90^{\circ}$，连接$BC$，$BE$.若$AB = 4$，$BC = 3$，$∠ ABC = 45^{\circ}$，则$BE$的长为.
答案
过点A作坐标系，设A(0,0)，AB在x轴，AD在y轴。
∵△ABD为等腰直角三角形，∠BAD=90°，AB=4，∴B(4,0)，D(0,4)。
在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=45°，过C作CF⊥AB于F。
∵∠ABC=45°，∴BF=CF=y，AF=4-y。
在Rt△BFC中，y²+y²=3²，得y=3√2/2，∴BF=CF=3√2/2，AF=4-3√2/2。
在Rt△AFC中，AC²=(4-3√2/2)²+(3√2/2)²=25-12√2，∴AC=√(25-12√2)。
∵△ACE为等腰直角三角形，∠CAE=90°，∴AE=AC，∠CAE=90°。
∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAE=∠DAC。
在△BAE和△DAC中，AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE=DC。
点C坐标为(4-3√2/2, 3√2/2)，D(0,4)。
DC²=(0-(4-3√2/2))²+(4-3√2/2)²=2(4-3√2/2)²=41-24√2，∴DC=4√2-3。
故BE=4√2-3。
4√2 - 3
∵△ABD为等腰直角三角形，∠BAD=90°，AB=4，∴B(4,0)，D(0,4)。
在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=45°，过C作CF⊥AB于F。
∵∠ABC=45°，∴BF=CF=y，AF=4-y。
在Rt△BFC中，y²+y²=3²，得y=3√2/2，∴BF=CF=3√2/2，AF=4-3√2/2。
在Rt△AFC中，AC²=(4-3√2/2)²+(3√2/2)²=25-12√2，∴AC=√(25-12√2)。
∵△ACE为等腰直角三角形，∠CAE=90°，∴AE=AC，∠CAE=90°。
∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAE=∠DAC。
在△BAE和△DAC中，AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE=DC。
点C坐标为(4-3√2/2, 3√2/2)，D(0,4)。
DC²=(0-(4-3√2/2))²+(4-3√2/2)²=2(4-3√2/2)²=41-24√2，∴DC=4√2-3。
故BE=4√2-3。
4√2 - 3
18. 如图，在四边形$ABCD$中，连接$AC$，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AB = 15$，$BC = 9$，$AD = 5$，$CD = 13$.求证：$∠ DAC = 90^{\circ}$.
答案
证明：在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AB=15$，$BC=9$，
由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
即$AC^{2}+9^{2}=15^{2}$，
$AC^{2}=15^{2}-9^{2}=225-81=144$，
$\therefore AC=12$（负值舍去）。
在$△ DAC$中，$AD=5$，$CD=13$，$AC=12$，
$\because AD^{2}+AC^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144=169$，
$CD^{2}=13^{2}=169$，
$\therefore AD^{2}+AC^{2}=CD^{2}$，
$\therefore △ DAC$是直角三角形，且$∠ DAC=90^{\circ}$。
由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
即$AC^{2}+9^{2}=15^{2}$，
$AC^{2}=15^{2}-9^{2}=225-81=144$，
$\therefore AC=12$（负值舍去）。
在$△ DAC$中，$AD=5$，$CD=13$，$AC=12$，
$\because AD^{2}+AC^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144=169$，
$CD^{2}=13^{2}=169$，
$\therefore AD^{2}+AC^{2}=CD^{2}$，
$\therefore △ DAC$是直角三角形，且$∠ DAC=90^{\circ}$。
