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7. 在平面直角坐标系中,已知点 $ A(3,4) $,$ B(-2,m) $,当线段 $ AB $ 最短时,$ m $ 的值是()
A.$ 5 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 0 $
A.$ 5 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 0 $
答案
C
解析
在平面直角坐标系中，点到直线的距离垂线段最短。点A的坐标为(3,4)，点B的坐标为(-2,m)，点B在直线x=-2上。要使线段AB最短，点B应是点A到直线x=-2的垂线段的垂足。因为直线x=-2是垂直于x轴的直线，所以过点A作x轴的垂线，与直线x=-2的交点即为垂足，此时垂足的纵坐标与点A的纵坐标相同，即m=4。
8. 如图,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $,$ E $,$ F $,$ G $ 为正方形网格中的 $ 7 $ 个格点.建立平面直角坐标系,使点 $ B $,$ C $ 的坐标分别为$(-3,-2)$和$(1,-2)$,则上述 $ 7 $ 个格点中,在第二象限的点有()
A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个
A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个
答案
C
解析
已知点B(-3,-2)和C(1,-2)，则BC在直线y=-2上，间距4个单位。以B向右3个单位、向上2个单位为原点(0,0)建立坐标系。
点A：在B左上方，坐标(-4,1)（x＜0,y＞0，第二象限）；
点G：在B右上方，坐标(-2,2)（x＜0,y＞0，第二象限）；
其他点：B(-3,-2)(第三象限)、C(1,-2)(第四象限)、E(2,1)(第一象限)、D(3,-1)(第四象限)、F(-1,0)(x轴上)。
综上，第二象限的点为A、G，共2个。
点A：在B左上方，坐标(-4,1)（x＜0,y＞0，第二象限）；
点G：在B右上方，坐标(-2,2)（x＜0,y＞0，第二象限）；
其他点：B(-3,-2)(第三象限)、C(1,-2)(第四象限)、E(2,1)(第一象限)、D(3,-1)(第四象限)、F(-1,0)(x轴上)。
综上，第二象限的点为A、G，共2个。
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
9. 若点 $ M(a-3,a+4) $ 在 $ y $ 轴上,则 $ a $ 的值为.
9. 若点 $ M(a-3,a+4) $ 在 $ y $ 轴上,则 $ a $ 的值为.
答案
点$M(a - 3,a + 4)$在$y$轴上，根据$y$轴上点的坐标特征：横坐标为$0$。
可得$a - 3 = 0$，解得$a = 3$。
故答案为$3$。
可得$a - 3 = 0$，解得$a = 3$。
故答案为$3$。
10. 将点 $ P(-3,y) $ 先向下平移 $ 3 $ 个单位长度,再向左平移 $ 2 $ 个单位长度后得到点 $ Q(x,-1) $,则 $ xy $ 的值为.
答案
$-10$。
解析
点$P(-3, y)$向下平移3个单位，纵坐标减少3，得到$(-3, y - 3)$。
再向左平移2个单位，横坐标减少2，得到$Q(-3 - 2, y - 3) = Q(-5, y - 3)$。
已知$Q$的坐标为$(x, -1)$，因此有：
$\begin{cases}-5 = x, \\y - 3 = -1.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = -5, \\y = 2.\end{cases}$
$xy = (-5) × 2 = -10$。
再向左平移2个单位，横坐标减少2，得到$Q(-3 - 2, y - 3) = Q(-5, y - 3)$。
已知$Q$的坐标为$(x, -1)$，因此有：
$\begin{cases}-5 = x, \\y - 3 = -1.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = -5, \\y = 2.\end{cases}$
$xy = (-5) × 2 = -10$。
11. 已知三角形 $ ABC $ 三个顶点的坐标分别是 $ A(-1,2) $,$ B(-3,0) $,$ C(2,0) $,则三角形 $ ABC $ 的面积是.
答案
根据坐标求底和高：
观察三个点坐标$A(-1,2)$，$B(-3,0)$，$C(2,0)$。
发现$B$、$C$两点纵坐标都为$0$，则$BC$边在$x$轴上。
根据两点间距离公式，若有两点$M(x_1,0)$，$N(x_2,0)$，则$\vert MN\vert=\vert x_1 - x_2\vert$。
所以$\vert BC\vert=\vert2 - (-3)\vert = 5$。
点$A$到$x$轴的距离就是$A$点纵坐标的绝对值，即$A$到$BC$边（$x$轴）的距离$h=\vert2 - 0\vert = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为$\vert BC\vert = 5$，高为$2$。
则${S}_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 5× 2 = 5$。
故答案为$5$。
观察三个点坐标$A(-1,2)$，$B(-3,0)$，$C(2,0)$。
发现$B$、$C$两点纵坐标都为$0$，则$BC$边在$x$轴上。
根据两点间距离公式，若有两点$M(x_1,0)$，$N(x_2,0)$，则$\vert MN\vert=\vert x_1 - x_2\vert$。
所以$\vert BC\vert=\vert2 - (-3)\vert = 5$。
点$A$到$x$轴的距离就是$A$点纵坐标的绝对值，即$A$到$BC$边（$x$轴）的距离$h=\vert2 - 0\vert = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为$\vert BC\vert = 5$，高为$2$。
则${S}_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 5× 2 = 5$。
故答案为$5$。
12. 如图,三角形 $ OAB $ 的顶点 $ B $ 的坐标是$(4,0)$,把三角形 $ OAB $ 沿 $ x $ 轴向右平移得到三角形 $ CDE $.如果 $ CB=1 $,那么点 $ E $ 的坐标是.
答案
$(7,0)$
解析
因为三角形 $OAB$ 沿 $x$ 轴向右平移得到三角形 $CDE$，所以平移的距离等于对应点的横坐标差。
已知点 $B$ 的坐标是 $(4,0)$，平移后对应点为 $E$，点 $O$ 平移后对应点为 $C$。
因为 $CB = 1$，点 $B$ 的坐标是 $(4,0)$，且点 $C$ 在 $x$ 轴上，所以点 $C$ 的坐标为 $(4 - 1, 0) = (3,0)$。
即三角形 $OAB$ 向右平移了 $3$ 个单位长度（因为点 $O(0,0)$ 平移到 $C(3,0)$，横坐标增加了 $3$）。
所以点 $B(4,0)$ 向右平移 $3$ 个单位长度得到点 $E$，则点 $E$ 的坐标为 $(4 + 3, 0) = (7,0)$。
已知点 $B$ 的坐标是 $(4,0)$，平移后对应点为 $E$，点 $O$ 平移后对应点为 $C$。
因为 $CB = 1$，点 $B$ 的坐标是 $(4,0)$，且点 $C$ 在 $x$ 轴上，所以点 $C$ 的坐标为 $(4 - 1, 0) = (3,0)$。
即三角形 $OAB$ 向右平移了 $3$ 个单位长度（因为点 $O(0,0)$ 平移到 $C(3,0)$，横坐标增加了 $3$）。
所以点 $B(4,0)$ 向右平移 $3$ 个单位长度得到点 $E$，则点 $E$ 的坐标为 $(4 + 3, 0) = (7,0)$。
13. 已知点 $ P $ 的坐标是$(2-a,3a+6)$,且点 $ P $ 到两坐标轴的距离相等,则点 $ P $ 的坐标是.
答案
因为点$ P(2 - a, 3a + 6) $到两坐标轴的距离相等，所以点$ P $的横、纵坐标的绝对值相等，即$|2 - a| = |3a + 6|$。
情况1： $ 2 - a = 3a + 6 $
移项得：$ -a - 3a = 6 - 2 $
合并同类项得：$ -4a = 4 $
解得：$ a = -1 $
此时点$ P $的坐标为$ (2 - (-1), 3×(-1) + 6) = (3, 3) $
情况2： $ 2 - a = -(3a + 6) $
去括号得：$ 2 - a = -3a - 6 $
移项得：$ -a + 3a = -6 - 2 $
合并同类项得：$ 2a = -8 $
解得：$ a = -4 $
此时点$ P $的坐标为$ (2 - (-4), 3×(-4) + 6) = (6, -6) $
综上，点$ P $的坐标是$(3, 3)$或$(6, -6)$。
$(3, 3)$或$(6, -6)$
情况1： $ 2 - a = 3a + 6 $
移项得：$ -a - 3a = 6 - 2 $
合并同类项得：$ -4a = 4 $
解得：$ a = -1 $
此时点$ P $的坐标为$ (2 - (-1), 3×(-1) + 6) = (3, 3) $
情况2： $ 2 - a = -(3a + 6) $
去括号得：$ 2 - a = -3a - 6 $
移项得：$ -a + 3a = -6 - 2 $
合并同类项得：$ 2a = -8 $
解得：$ a = -4 $
此时点$ P $的坐标为$ (2 - (-4), 3×(-4) + 6) = (6, -6) $
综上，点$ P $的坐标是$(3, 3)$或$(6, -6)$。
$(3, 3)$或$(6, -6)$
14. 平面直角坐标系中,点 $ A(4,2) $,$ B(2,-4) $,经过点 $ A $ 的直线 $ l // x $ 轴,$ C $ 是直线 $ l $ 上的一个动点,则线段 $ BC $ 的长度最小时,点 $ C $ 的坐标为.
答案
因为直线 $ l // x $ 轴且经过点 $ A(4,2) $，所以直线 $ l $ 上所有点的纵坐标都为 2，设点 $ C $ 的坐标为 $ (x,2) $。
根据两点间距离公式，$ BC = \sqrt{(x - 2)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 36} $。
要使 $ BC $ 的长度最小，需使 $ (x - 2)^2 $ 最小，因为 $ (x - 2)^2 ≥ 0 $，所以当 $ x - 2 = 0 $，即 $ x = 2 $ 时，$ BC $ 最小。
此时点 $ C $ 的坐标为 $ (2,2) $。
$(2,2)$
根据两点间距离公式，$ BC = \sqrt{(x - 2)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 36} $。
要使 $ BC $ 的长度最小，需使 $ (x - 2)^2 $ 最小，因为 $ (x - 2)^2 ≥ 0 $，所以当 $ x - 2 = 0 $，即 $ x = 2 $ 时，$ BC $ 最小。
此时点 $ C $ 的坐标为 $ (2,2) $。
$(2,2)$
