10. 已知关于 $ x $ 的正比例函数 $ y = (1 - 2m)x $。
(1)当 $ m $ 为何值时，函数图象经过第二、四象限？
(2)当 $ m $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3)若函数图象经过点 $ (-1, 2) $，求此函数的解析式，并作出函数的图象。

(1)
正比例函数$y=(1 - 2m)x$的图象经过第二、四象限时，比例系数小于$0$，即$1-2m＜0$，
移项可得$2m＞1$，
解得$m＞\frac{1}{2}$。
(2)
$y$随$x$的增大而增大时，比例系数大于$0$，即$1 - 2m＞0$，
移项可得$2m＜1$，
解得$m＜\frac{1}{2}$。
(3)
把$x = - 1$，$y = 2$代入$y=(1 - 2m)x$中，得到$2=(1 - 2m)×(-1)$，
即$2=-1 + 2m$，
移项可得$2m=2 + 1$，
$2m=3$，
解得$m=\frac{3}{2}$。
所以函数解析式为$y=(1-2×\frac{3}{2})x=-2x$。
函数图象：过原点$(0,0)$和点$(1,-2)$作直线（一条经过原点和$(1, - 2)$的直线）。

如图，$ A $ 为直线 $ y = 2x $ 上一动点，$ AC ⊥ x $ 轴于点 $ C $，交直线 $ y = kx $($ k ＜ 2 $)于点 $ B $。
(1)若点 $ A $ 的坐标为 $ (2, 4) $，$ △ AOB $ 的面积为 $ 2 $，求 $ k $ 的值；
(2)若 $ k = \frac{1}{2} $，当点 $ A $ 在 $ x $ 轴上方运动时，求 $ \frac{AB}{BC} $ 的值。

(1)
由$A(2,4)$，$AC⊥ x$轴交直线$y = kx$于$B$点，把$x = 2$代入$y = kx$得$y = 2k$，则$B(2,2k)$。
$AC = 4$，$B$点纵坐标为$2k$，那么$AB=4 - 2k$，$OC = 2$。
因为$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}×2×4 = 4$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC×|2k|=|2k|$。
已知$S_{△ AOB}=2$，则$4 - |2k|=2$，即$|2k|=2$，解得$k = 1$或$k=-1$，又因为$k＜2$且从图象可知$k＞0$，所以$k = 1$。
(2)
设$A(a,2a)(a＞0)$，因为$AC⊥ x$轴交直线$y=\frac{1}{2}x$于$B$点，把$x = a$代入$y=\frac{1}{2}x$得$y=\frac{1}{2}a$，则$B(a,\frac{1}{2}a)$。
$AB=\vert2a-\frac{1}{2}a\vert=\frac{3}{2}a$，$BC=\vert\frac{1}{2}a\vert=\frac{1}{2}a$。
所以$\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{1}{2}a}=3$。
综上，答案为(1)$k = 1$；(2)$3$。