2. 如图，水库大坝的横截面是梯形$ABCD$，坝顶宽$BC$是$6m$，坝高$BE$是$23m$，斜坡$AB$的坡度为$1:3$，斜坡$CD$的坡度为$1:2.5$。求斜坡$AB$的坡角$α$（精确到$1'$）、坝底宽$AD$和斜坡$AB$的长（精确到$0.1m$）。

解：​AE=23×3=69m，​​FD=23×2.5=57.5m​
∴​AD=AE+EF+FD=132.5m​
由$​tan α=\frac 13​$得​α≈18°26'​
∴$​AB=\frac {BE}{sin α}≈72.7m​$
答：坝底宽​AD​是​132.5m，​斜坡​AB​长​72.7m。​

【解析】
1. 计算水平宽度$AE$和$FD$：
由斜坡$AB$的坡度为$1:3$，即$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，已知$BE=23m$，可得$AE=3× BE=3×23=69m$；
由斜坡$CD$的坡度为$1:2.5$，即$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2.5}$（$CF=BE=23m$），可得$FD=2.5× CF=2.5×23=57.5m$。
2. 计算坝底宽$AD$：
因为$EF=BC=6m$，所以$AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5m$。
3. 计算坡角$α$：
由$tanα=\frac{1}{3}$，利用计算器计算得$α≈18°26'$。
4. 计算斜坡$AB$的长：
由$sinα=\frac{BE}{AB}$，可得$AB=\frac{BE}{sinα}≈\frac{23}{sin18°26'}≈72.7m$。
【答案】
斜坡$AB$的坡角$α$约为$18°26'$，坝底宽$AD$为$132.5m$，斜坡$AB$的长约为$72.7m$。
【知识点】
坡度与坡角、解直角三角形、梯形的性质
【点评】
本题考查坡度、坡角的定义及解直角三角形在工程实际中的应用，需明确坡度是垂直高度与水平宽度的比值，计算时准确运用三角函数，注意结果的精度要求。

3. 如图，利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为$0.6m$的一块（图中的阴影部分），其横截面是梯形$ABCD$，其中$AB = CD$。已知渠道内坡度为$1:1.5$，渠道底面宽$BC$为$0.5m$。
(1) 计算横截面$ABCD$的面积；
(2) 求修一条长为$100m$的这种渠道要挖去的土方数。

解：​(1)BE：​​AE=1：​​1.5，​​BE=0.6​
∴​AE=0.9，​​AD=EF+2AE=0.5+0.9×2=2.3​
∴$​S_{梯形ABCD}=\frac 12(2.3+0.5)×0.6=0.84(\mathrm {m^2})​$
$​(2)0.84×100=84(\mathrm {m^3})​$
∴要挖去的土方为$​84\ \mathrm {m^3}​$

【解析】
(1) 由渠道内坡度为$1:1.5$，即垂直高度与水平宽度的比为$1:1.5$，已知垂直深度$BE=0.6\mathrm{m}$，可得$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{1.5}$，代入$BE=0.6$，解得$AE=0.9\mathrm{m}$。
因为$AD=BC+2AE$，$BC=0.5\mathrm{m}$，所以$AD=0.5+0.9×2=2.3\mathrm{m}$。
根据梯形面积公式$S_{梯形}=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，代入$AD=2.3\mathrm{m}$，$BC=0.5\mathrm{m}$，高为$0.6\mathrm{m}$，可得：
$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(2.3+0.5)×0.6=0.84(\mathrm{m^2})$。
(2) 挖去的土方数为横截面面积乘以渠道长度，即$0.84×100=84(\mathrm{m^3})$。
【答案】
(1) 横截面$ABCD$的面积为$\boldsymbol{0.84\mathrm{m^2}}$；
(2) 修一条长为$100\mathrm{m}$的这种渠道要挖去的土方数为$\boldsymbol{84\mathrm{m^3}}$。
【知识点】
梯形面积计算，坡度的应用，柱体体积计算
【点评】
本题属于几何图形的实际应用问题，核心是利用坡度的定义求出梯形的上底长度，再结合梯形面积公式和柱体体积公式求解，需注意实际问题中各数量之间的转化关系。