3. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，$ ∠ BAC = 150^{\circ} $，$ AD ⊥ AB $。求 $ \sin B $ 的值。

解：过点​C​作​CE⊥AD​交​AD​的延长线于点​E​

∵点​D​是​BC​的中点
∴​BD=CD​
又​∠BAD=∠DEC=90°，​​∠ADB=∠CDE​
∴​△ABD≌△ECD​
∴​AB=CE，​​AD=DE，​​∠B=∠DCE，​​∠EAC=150°-90°=60°​
设​DE=AD=x，​则$​EC=AE · \mathrm {tan}60°=2\sqrt 3x$，$​​CD=\sqrt {DE^2+EC^2}=\sqrt {13}x​$
∴$​sinB=sin∠DCE=\frac {DE}{CD}=\frac {\sqrt {13}}{13}​$

【解析】
过点$C$作$CE⊥AD$交$AD$的延长线于点E。
∵$D$是$BC$的中点，
∴$BD=CD$。
又
∵$∠BAD=∠DEC=90°$，$∠ADB=∠CDE$，
∴$△ABD≌△ECD$（AAS）。
∴$AB=CE$，$AD=DE$，$∠B=∠DCE$。
∵$∠BAC=150°$，$AD⊥AB$，
∴$∠EAC=∠BAC - ∠BAD=150°-90°=60°$。
设$DE=AD=x$，则$AE=AD+DE=2x$。
在$Rt△ACE$中，$EC=AE·\tan60°=2x·\sqrt{3}=2\sqrt{3}x$。
在$Rt△CDE$中，$CD=\sqrt{DE^2+EC^2}=\sqrt{x^2+(2\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{13}x$。
∴$\sin B=\sin∠DCE=\frac{DE}{CD}=\frac{x}{\sqrt{13}x}=\frac{\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{13}}{13}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；线段中点的性质
【点评】
本题通过构造辅助线，利用全等三角形实现线段与角的转化，结合锐角三角函数的定义求解，关键是正确作出辅助线，借助全等三角形搭建已知与未知的联系。

1. 如图，$Rt△ ABC$是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡$AB$的长为$15m$，它的坡角为$45^{\circ}$。为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为$1:1.6$的斜坡$AD$，在$CB$方向距点$B5m$处有一座房屋。问：在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？

解：$​AC=BC=AB · sin 45°=\frac {15\sqrt 2}2​$
​AC：​​DC=1：​​1.6​
∴$​DC=12\sqrt 2​$
$​DB=DC-BC=12\sqrt 2-\frac {15\sqrt 2}2=\frac {9\sqrt 2}2≈6.4(\mathrm {m})​$
​6.4m＞5m​
∴此处房屋需要拆除

【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ ABC=45^{\circ}$，$AB=15m$，
$\because \sin45^{\circ}=\frac{AC}{AB}$，且$∠ ABC=45^{\circ}$，$Rt△ABC$为等腰直角三角形，
$\therefore AC=BC=AB·\sin45^{\circ}=15×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{15\sqrt{2}}{2}m$。
$\because$ 斜坡$AD$的坡度为$1:1.6$，即$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{1.6}$，
$\therefore DC=1.6AC=1.6×\frac{15\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}m$。
$\therefore DB=DC-BC=12\sqrt{2}-\frac{15\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx6.4m$。
$\because 6.4m＞5m$，
$\therefore$ 此处房屋需要拆除。
【答案】
此处房屋需要拆除
【知识点】
解直角三角形应用、坡度坡角概念、等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查解直角三角形在实际工程问题中的应用，关键是借助坡角、坡度的定义及等腰直角三角形的性质计算线段长度，通过比较长度判断房屋是否需拆除，体现了数学知识的实际应用价值。