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3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中， $ ∠ C = 90^{\circ} $， $ AB = 287.4 $， $ ∠ B = 42^{\circ}6' $。求：
(1) $ ∠ A $ 的大小；
(2) $ BC $、 $ AC $ 的大小(精确到 $ 0.1 $)。
(1) $ ∠ A $ 的大小；
(2) $ BC $、 $ AC $ 的大小(精确到 $ 0.1 $)。
答案
解：(1)∠A=90°-42°6'=47°54'
(2)a=287.4×sin 47°54'≈213.2
b=287.4×sin 42°6'≈192.7
(2)a=287.4×sin 47°54'≈213.2
b=287.4×sin 42°6'≈192.7
解析
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ A = 90^{\circ} - ∠ B = 90^{\circ} - 42^{\circ}6' = 47^{\circ}54'$
(2) 根据锐角三角函数的定义：
$BC = AB · \sin∠ A = 287.4 × \sin47^{\circ}54' \approx 213.2$
$AC = AB · \sin∠ B = 287.4 × \sin42^{\circ}6' \approx 192.7$
【答案】
(1) $∠ A = 47^{\circ}54'$；
(2) $BC \approx 213.2$，$AC \approx 192.7$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查直角三角形的性质与锐角三角函数的计算，需熟练运用直角三角形两锐角互余的性质求角，结合锐角三角函数定义计算边长，注意计算时角度单位统一及结果的精度要求。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ A = 90^{\circ} - ∠ B = 90^{\circ} - 42^{\circ}6' = 47^{\circ}54'$
(2) 根据锐角三角函数的定义：
$BC = AB · \sin∠ A = 287.4 × \sin47^{\circ}54' \approx 213.2$
$AC = AB · \sin∠ B = 287.4 × \sin42^{\circ}6' \approx 192.7$
【答案】
(1) $∠ A = 47^{\circ}54'$；
(2) $BC \approx 213.2$，$AC \approx 192.7$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查直角三角形的性质与锐角三角函数的计算，需熟练运用直角三角形两锐角互余的性质求角，结合锐角三角函数定义计算边长，注意计算时角度单位统一及结果的精度要求。
1. 已知等腰三角形 $ ABC $ 的腰长 $ AB $ 为 $ 4 $，面积为 $ 8 $。求底边 $ BC $ 的长。
答案
解：$S_{△ABC}=\frac 12AB · ACsinA=\frac 12×4×4sinA=8$
∴sinA=1，∠A=90°
∴$BC=4\sqrt 2$
∴sinA=1，∠A=90°
∴$BC=4\sqrt 2$
解析
【解析】
已知等腰三角形$ABC$的腰长$AB=AC=4$，根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC\sin A$，代入$S_{△ABC}=8$可得：
$\frac{1}{2}×4×4\sin A=8$，
解得$\sin A=1$，因此$∠ A=90°$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 等腰三角形性质；2. 三角形面积公式；3. 勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形的综合计算，需结合三角形面积公式和勾股定理求解，通过三角函数值判断角的度数是解题的关键。
已知等腰三角形$ABC$的腰长$AB=AC=4$，根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC\sin A$，代入$S_{△ABC}=8$可得：
$\frac{1}{2}×4×4\sin A=8$，
解得$\sin A=1$，因此$∠ A=90°$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 等腰三角形性质；2. 三角形面积公式；3. 勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形的综合计算，需结合三角形面积公式和勾股定理求解，通过三角函数值判断角的度数是解题的关键。
2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ CAB = 120^{\circ} $，$ AB = 4 $，$ AC = 2 $，求 $ BC $ 的长。
答案
解：过点B作BD⊥CA于点D
则∠BAD=60°，$BD=AB\mathrm {sin}60°=2\sqrt 3$
$AD=AB\mathrm {cos}60°=2$，CD=CA+AD=4
∴$BC=\sqrt {CD^2+BD^2}=2\sqrt 7$
解析
【解析】
过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D。
因为∠CAB=120°，所以∠BAD=180°-120°=60°。
在Rt△ABD中，
BD=AB·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AD=AB·cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2。
因为AC=2，所以CD=AC+AD=2+2=4。
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
BC=$\sqrt{CD^2+BD^2}$=$\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{16+12}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$。
【答案】
$BC=2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数、构造直角三角形
【点评】
本题通过构造直角三角形，将非直角三角形的边长求解问题转化为直角三角形问题，运用锐角三角函数和勾股定理进行计算，体现了转化的数学思想，是解斜三角形边长问题的常用方法。
过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D。
因为∠CAB=120°，所以∠BAD=180°-120°=60°。
在Rt△ABD中，
BD=AB·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AD=AB·cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2。
因为AC=2，所以CD=AC+AD=2+2=4。
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
BC=$\sqrt{CD^2+BD^2}$=$\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{16+12}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$。
【答案】
$BC=2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数、构造直角三角形
【点评】
本题通过构造直角三角形，将非直角三角形的边长求解问题转化为直角三角形问题，运用锐角三角函数和勾股定理进行计算，体现了转化的数学思想，是解斜三角形边长问题的常用方法。
