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1. 某片绿地形如四边形 $ABCD$ (如图)，其中 $∠ A = 60^{\circ}$， $AB ⊥ BC$， $CD ⊥ AD$， $AB = 200\ \mathrm{m}$， $CD = 100\ \mathrm{m}$. 求该绿地的周长 (精确到 $1\ \mathrm{m}$).
答案
解：延长AD，交BC的延长线于点E
在$Rt\triangle ABE$中，∵AB=200m，∠A=60°
∴$BE=AB·\tan A=200\sqrt {3}m$，$AE=\frac {AB}{\\mathrm {cos}60°}=400m$
在$Rt\triangle CDE$中，∵CD=100m
∴∠CED=90°-∠A=30°
∴CE=2CD=200m，$DE=\frac {CD}{\tan ∠CED}=100\sqrt {3}m$
∴$AD=AE-DE=400-100\sqrt {3}m≈227m$
$ BC=BE-CE=200\sqrt {3}-200≈146m$
∴绿地周长$=AB+AD+BC+CD=200+227+146+100=673(\mathrm {m})$
答：绿地周长是673m。
解析
【解析】
延长$AD$，交$BC$的延长线于点$E$。
1. 在$Rt△ ABE$中，已知$AB=200\ \mathrm{m}$，$∠ A=60^{\circ}$，
根据锐角三角函数的定义：
$BE=AB·\tan A=200×\tan60^{\circ}=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AE=\frac{AB}{\cos60^{\circ}}=\frac{200}{0.5}=400\ \mathrm{m}$；
2. 在$Rt△ CDE$中，已知$CD=100\ \mathrm{m}$，$∠ CED=90^{\circ}-∠ A=30^{\circ}$，
根据含30°角的直角三角形的性质：$CE=2CD=200\ \mathrm{m}$，
再由锐角三角函数的定义：$DE=\frac{CD}{\tan∠ CED}=\frac{100}{\tan30^{\circ}}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；
3. 计算四边形的边：
$AD=AE-DE=400-100\sqrt{3}\approx227\ \mathrm{m}$，
$BC=BE-CE=200\sqrt{3}-200\approx146\ \mathrm{m}$；
4. 计算绿地周长：
$AB+AD+BC+CD=200+227+146+100=673\ \mathrm{m}$。
【答案】
该绿地的周长约为$\boldsymbol{673\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
锐角三角函数的应用、含30°角的直角三角形的性质、四边形周长计算
【点评】
本题通过延长四边形的边，将不规则四边形问题转化为解直角三角形的问题，运用了转化思想，把复杂的图形问题转化为熟悉的直角三角形问题来求解，充分利用直角三角形的边角关系和特殊角的性质进行计算。
延长$AD$，交$BC$的延长线于点$E$。
1. 在$Rt△ ABE$中，已知$AB=200\ \mathrm{m}$，$∠ A=60^{\circ}$，
根据锐角三角函数的定义：
$BE=AB·\tan A=200×\tan60^{\circ}=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AE=\frac{AB}{\cos60^{\circ}}=\frac{200}{0.5}=400\ \mathrm{m}$；
2. 在$Rt△ CDE$中，已知$CD=100\ \mathrm{m}$，$∠ CED=90^{\circ}-∠ A=30^{\circ}$，
根据含30°角的直角三角形的性质：$CE=2CD=200\ \mathrm{m}$，
再由锐角三角函数的定义：$DE=\frac{CD}{\tan∠ CED}=\frac{100}{\tan30^{\circ}}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；
3. 计算四边形的边：
$AD=AE-DE=400-100\sqrt{3}\approx227\ \mathrm{m}$，
$BC=BE-CE=200\sqrt{3}-200\approx146\ \mathrm{m}$；
4. 计算绿地周长：
$AB+AD+BC+CD=200+227+146+100=673\ \mathrm{m}$。
【答案】
该绿地的周长约为$\boldsymbol{673\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
锐角三角函数的应用、含30°角的直角三角形的性质、四边形周长计算
【点评】
本题通过延长四边形的边，将不规则四边形问题转化为解直角三角形的问题，运用了转化思想，把复杂的图形问题转化为熟悉的直角三角形问题来求解，充分利用直角三角形的边角关系和特殊角的性质进行计算。
2. 如图，在离地面高 $5\ \mathrm{m}$ 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 $60^{\circ}$ 角. 求拉线 $AC$ 的长以及拉线下端 $A$ 与杆底 $D$ 的距离 $AD$ (精确到 $0.01\ \mathrm{m}$).
答案
解：$AC=\frac {CD}{sin 60°}=\frac {10\sqrt 3}3≈5.77(\mathrm {m})$
AD · tan 60°=5
∴$AD=\frac {5\sqrt 3}3≈2.89(\mathrm {m})$
AD · tan 60°=5
∴$AD=\frac {5\sqrt 3}3≈2.89(\mathrm {m})$
解析
【解析】
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90^{\circ}$，$CD=5\ \mathrm{m}$，$∠ A=60^{\circ}$。
1. 求拉线$AC$的长：
由$\sin60^{\circ}=\frac{CD}{AC}$，可得$AC=\frac{CD}{\sin60^{\circ}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx5.77\ \mathrm{m}$。
2. 求$AD$的长：
由$\tan60^{\circ}=\frac{CD}{AD}$，可得$AD=\frac{CD}{\tan60^{\circ}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\approx2.89\ \mathrm{m}$。
【答案】
拉线$AC$的长约为$5.77\ \mathrm{m}$，拉线下端$A$与杆底$D$的距离$AD$约为$2.89\ \mathrm{m}$。
【知识点】
锐角三角函数应用、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的实际应用，需熟练掌握正弦、正切函数的定义及特殊角的三角函数值，准确进行根式运算并按要求取近似值。
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90^{\circ}$，$CD=5\ \mathrm{m}$，$∠ A=60^{\circ}$。
1. 求拉线$AC$的长：
由$\sin60^{\circ}=\frac{CD}{AC}$，可得$AC=\frac{CD}{\sin60^{\circ}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx5.77\ \mathrm{m}$。
2. 求$AD$的长：
由$\tan60^{\circ}=\frac{CD}{AD}$，可得$AD=\frac{CD}{\tan60^{\circ}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\approx2.89\ \mathrm{m}$。
【答案】
拉线$AC$的长约为$5.77\ \mathrm{m}$，拉线下端$A$与杆底$D$的距离$AD$约为$2.89\ \mathrm{m}$。
【知识点】
锐角三角函数应用、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的实际应用，需熟练掌握正弦、正切函数的定义及特殊角的三角函数值，准确进行根式运算并按要求取近似值。
