3. 我们知道，螺钉问题可以看作锐角三角函数的计算问题 (如图). 螺纹以一定的角度旋转上升，使得螺钉旋转时向前推进. 直径是 $6\ \mathrm{mm}$ 的螺钉，若每转 $1$ 圈向前推进 $1.25\ \mathrm{mm}$，则螺纹的初始角约为多少度多少分?

解：设螺纹的初始角为θ
则$​tan θ=\frac {1.25}{6π}​$
​θ≈3°47'​
答：螺纹的初始角约为​3°47'。​

【解析】
设螺纹的初始角为$θ$。
根据题意，螺钉每转1圈向前推进的距离为$1.25\ \mathrm{mm}$，螺钉底面圆的周长为$6π\ \mathrm{mm}$，由正切函数的定义可得$\tanθ = \frac{1.25}{6π}$，计算可得$θ \approx 3°47'$。
【答案】
$3°47'$
【知识点】
1. 锐角三角函数应用
2. 角度单位换算
【点评】
本题将实际的螺钉推进问题转化为锐角三角函数的计算问题，考查了正切函数的实际应用，需掌握三角函数的定义及角度换算方法，体现了数学建模思想，实现了实际问题与数学问题的转化。

4. 课外活动时，小明发现一个烟囱 $AB$ (如图) 在墙上的影子 $CD$ 正好与自己一样高. 他测得当时自己在平地上的影长是 $2.4\ \mathrm{m}$，烟囱到墙的距离 $BD$ 是 $7.2\ \mathrm{m}$. 如果小明的身高是 $1.6\ \mathrm{m}$，你能否据此求出烟囱的高度?

解：设烟囱的高度是​xm​
$​\frac x{7.2+2.4}=\frac {1.6}{2.4}​$
解得​x=6.4​
答：烟囱的高度是​6.4m。​

【解析】
设烟囱的高度是$ x\ \mathrm{m} $。
根据同一时刻物高与影长成正比，烟囱的总影长为$ 7.2 + 2.4\ \mathrm{m} $，据此列出比例式：
$\frac{x}{7.2 + 2.4} = \frac{1.6}{2.4}$
解方程：
$2.4x = 1.6×(7.2 + 2.4)$
$x = \frac{1.6×9.6}{2.4} = 6.4$
【答案】
烟囱的高度是$ 6.4\ \mathrm{m} $
【知识点】
相似三角形的应用；比例的性质
【点评】
本题借助同一时刻物高与影长的正比关系建立比例方程求解，考查了相似三角形在实际测量中的应用，体现了数学建模思想在实际问题中的运用。