登录
【例】如图20.1-3，在$△ ABC$中，$ AB = BC = CA $，$ AD $是边$ BC $上的高，$ AD = \sqrt{3} $。
(1) 求$ AB $的长。
(2) 求$△ ABC$的面积。
【点拨】(1) 在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，根据$ ∠ BAD = 30° $，可知$ AB = 2BD $，根据勾股定理求出$ BD $，进而求出$ AB $即可。(2) 根据三角形的面积公式计算即可。
(1) 求$ AB $的长。
(2) 求$△ ABC$的面积。
【点拨】(1) 在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，根据$ ∠ BAD = 30° $，可知$ AB = 2BD $，根据勾股定理求出$ BD $，进而求出$ AB $即可。(2) 根据三角形的面积公式计算即可。
答案
【例】解：（1）$\because AB = BC = AC$，$\therefore ∠ B = 60°$．$\because AD⊥ BC$，$\therefore BD = DC$．在$Rt△ ADB$中，$\because AD = \sqrt{3}$，$∠ BAD = 30°$，$\therefore AB = 2BD$，$\therefore AB^{2} = AD^{2} + BD^{2}$，$\therefore (2BD)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + BD^{2}$，$\therefore BD = 1$，$\therefore AB = 2BD = 2$．
（2）$\because BC = AB = 2$，$AD = \sqrt{3}$，$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· BC· AD = \sqrt{3}$．
（2）$\because BC = AB = 2$，$AD = \sqrt{3}$，$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· BC· AD = \sqrt{3}$．
解析
【解析】
（1）因为$AB = BC = AC$，所以$∠ B = 60°$。因为$AD⊥ BC$，所以$BD = DC$。在$Rt△ ADB$中，因为$AD = \sqrt{3}$，$∠ BAD = 30°$，所以$AB = 2BD$。根据勾股定理$AB^{2} = AD^{2} + BD^{2}$，即$(2BD)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + BD^{2}$，解得$BD = 1$，所以$AB = 2BD = 2$。
（2）因为$BC = AB = 2$，$AD = \sqrt{3}$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· BC· AD$，可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$AB = 2$；（2）$S_{△ ABC}=\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题通过利用等边三角形的性质得出角度关系，再结合勾股定理和三角形面积公式求解，考查了对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）因为$AB = BC = AC$，所以$∠ B = 60°$。因为$AD⊥ BC$，所以$BD = DC$。在$Rt△ ADB$中，因为$AD = \sqrt{3}$，$∠ BAD = 30°$，所以$AB = 2BD$。根据勾股定理$AB^{2} = AD^{2} + BD^{2}$，即$(2BD)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + BD^{2}$，解得$BD = 1$，所以$AB = 2BD = 2$。
（2）因为$BC = AB = 2$，$AD = \sqrt{3}$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· BC· AD$，可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$AB = 2$；（2）$S_{△ ABC}=\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题通过利用等边三角形的性质得出角度关系，再结合勾股定理和三角形面积公式求解，考查了对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $所对的边分别是$ a $，$ b $，$ c $，则下列结论正确的是(
A.$ a^2 + b^2 = c^2 $
B.$ a^2 + c^2 = b^2 $
C.$ b^2 + c^2 = a^2 $
D.无法确定
D
)A.$ a^2 + b^2 = c^2 $
B.$ a^2 + c^2 = b^2 $
C.$ b^2 + c^2 = a^2 $
D.无法确定
答案
1. D
解析
【解析】
在$Rt△ ABC$中，只有明确哪一个角是直角，才能确定三边的平方关系。
本题中没有明确$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$哪个角是直角，所以无法确定三边$a$，$b$，$c$的平方关系。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的应用前提，需要明确直角所对的边。
【难度系数】
0.3
在$Rt△ ABC$中，只有明确哪一个角是直角，才能确定三边的平方关系。
本题中没有明确$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$哪个角是直角，所以无法确定三边$a$，$b$，$c$的平方关系。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的应用前提，需要明确直角所对的边。
【难度系数】
0.3
2. 在$△ ABC$中，$ ∠ C = 90° $，若$ AC = 8 $，$ AB = 10 $，则$ BC $的长是(
A.7
B.6
C.5
D.2
B
)A.7
B.6
C.5
D.2
答案
2. B
解析
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$。
已知$AC = 8$，$AB = 10$，则$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的应用，直接利用勾股定理公式计算即可。
【难度系数】
0.8
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$。
已知$AC = 8$，$AB = 10$，则$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的应用，直接利用勾股定理公式计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 求下列各图中$ x $的值。
|
①$ x = $
|①$ x = $
5
； ②$ x = $24
； ③$ x = $36
； ④$ x = $17
。 答案
3. ①5 ②24 ③36 ④17
解析
【解析】
①根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$。
②根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625 - 49}=\sqrt{576}=24$。
③根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$，因为是正方形面积，所以$x = 6^{2}=36$。
④根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225 + 64}=\sqrt{289}=17$。
【答案】
①$5$；②$24$；③$36$；④$17$
【知识点】
勾股定理、正方形面积
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，通过勾股定理计算直角三角形的边长以及正方形的面积，需要学生熟练掌握勾股定理公式并能准确计算。
【难度系数】
0.6
①根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$。
②根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625 - 49}=\sqrt{576}=24$。
③根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$，因为是正方形面积，所以$x = 6^{2}=36$。
④根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），可得$x=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225 + 64}=\sqrt{289}=17$。
【答案】
①$5$；②$24$；③$36$；④$17$
【知识点】
勾股定理、正方形面积
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，通过勾股定理计算直角三角形的边长以及正方形的面积，需要学生熟练掌握勾股定理公式并能准确计算。
【难度系数】
0.6
