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1. 已知$ a $，$ b $，$ c $是$△ ABC$的三边，下列说法不正确的是(
A.若$∠ C = 90°$，则$ a^2 + b^2 = c^2 $
B.若$∠ B = 90°$，则$ a^2 + c^2 = b^2 $
C.若$∠ A = 90°$，则$ b^2 + c^2 = a^2 $
D.总有$ a^2 + b^2 = c^2 $
D
)A.若$∠ C = 90°$，则$ a^2 + b^2 = c^2 $
B.若$∠ B = 90°$，则$ a^2 + c^2 = b^2 $
C.若$∠ A = 90°$，则$ b^2 + c^2 = a^2 $
D.总有$ a^2 + b^2 = c^2 $
答案
1. D
解析
【解析】
- 选项A：
已知$∠ C = 90°$，根据勾股定理，直角所对的边为斜边，所以$c$为斜边，$a$、$b$为直角边。
则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，该选项正确。
- 选项B：
已知$∠ B = 90°$，根据勾股定理，直角所对的边为斜边，所以$b$为斜边，$a$、$c$为直角边。
则$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，该选项正确。
- 选项C：
已知$∠ A = 90°$，根据勾股定理，直角所对的边为斜边，所以$a$为斜边，$b$、$c$为直角边。
则$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，该选项正确。
- 选项D：
只有当$∠ C = 90°$时，才有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，并不是总有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，该选项错误。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，需要明确直角三角形中斜边与直角边的关系。
【难度系数】
0.7
- 选项A：
已知$∠ C = 90°$，根据勾股定理，直角所对的边为斜边，所以$c$为斜边，$a$、$b$为直角边。
则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，该选项正确。
- 选项B：
已知$∠ B = 90°$，根据勾股定理，直角所对的边为斜边，所以$b$为斜边，$a$、$c$为直角边。
则$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，该选项正确。
- 选项C：
已知$∠ A = 90°$，根据勾股定理，直角所对的边为斜边，所以$a$为斜边，$b$、$c$为直角边。
则$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，该选项正确。
- 选项D：
只有当$∠ C = 90°$时，才有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，并不是总有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，该选项错误。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，需要明确直角三角形中斜边与直角边的关系。
【难度系数】
0.7
2. 如图20.1-2，正方形$ B $的面积是
144
，正方形$ B $的边长是12
。答案
2. 144 12
解析
【解析】
设正方形$B$的边长为$x$，根据勾股定理，正方形$B$的面积$x^{2}=169 - 25 = 144$，所以正方形$B$的面积是$144$。
因为$x^{2}=144$，所以$x=\sqrt{144}=12$（边长不能为负，舍去$-12$），即正方形$B$的边长是$12$。
【答案】
144；12
【知识点】
勾股定理、正方形面积公式、算术平方根
【点评】
本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理求出正方形$B$的面积，再根据算术平方根求出边长。
【难度系数】
0.3
设正方形$B$的边长为$x$，根据勾股定理，正方形$B$的面积$x^{2}=169 - 25 = 144$，所以正方形$B$的面积是$144$。
因为$x^{2}=144$，所以$x=\sqrt{144}=12$（边长不能为负，舍去$-12$），即正方形$B$的边长是$12$。
【答案】
144；12
【知识点】
勾股定理、正方形面积公式、算术平方根
【点评】
本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理求出正方形$B$的面积，再根据算术平方根求出边长。
【难度系数】
0.3
1. 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ C = 90° $。
(1) 若$ a = 3 $，$ b = 4 $，则$ c = $
(2) 若$ b = 5 $，$ c = 13 $，则$ a = $
(3) 若$ a = \sqrt{6} $，$ b = 2\sqrt{2} $，则$ c = $
(1) 若$ a = 3 $，$ b = 4 $，则$ c = $
5
；(2) 若$ b = 5 $，$ c = 13 $，则$ a = $
12
；(3) 若$ a = \sqrt{6} $，$ b = 2\sqrt{2} $，则$ c = $
$\sqrt{14}$
。答案
1.（1）5 （2）12 （3）$\sqrt{14}$
解析
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，已知$a = 3$，$b = 4$，则$c=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$，已知$b = 5$，$c = 13$，则$a=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，已知$a=\sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{2}$，则$c=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6 + 8}=\sqrt{14}$。
【答案】
(1) $5$；(2) $12$；(3) $\sqrt{14}$
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质、根式运算
【点评】
本题考查勾股定理在直角三角形中的应用，通过已知直角边或斜边求未知边，需要学生熟练掌握勾股定理公式并能正确进行根式运算。
【难度系数】
0.6
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，已知$a = 3$，$b = 4$，则$c=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$，已知$b = 5$，$c = 13$，则$a=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，已知$a=\sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{2}$，则$c=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6 + 8}=\sqrt{14}$。
【答案】
(1) $5$；(2) $12$；(3) $\sqrt{14}$
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质、根式运算
【点评】
本题考查勾股定理在直角三角形中的应用，通过已知直角边或斜边求未知边，需要学生熟练掌握勾股定理公式并能正确进行根式运算。
【难度系数】
0.6
2. 在$△ ABC$中，$ AB = AC = 4 $，若$ ∠ A = 90° $，则$ BC = $
$4\sqrt{2}$
。答案
2. $4\sqrt{2}$
解析
【解析】
在$△ABC$中，因为$AB = AC = 4$，$∠A = 90°$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$，将$AB = 4$，$AC = 4$代入可得：$BC=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{16 + 16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理、等腰直角三角形
【点评】
本题考查勾股定理在等腰直角三角形中的应用，通过已知的直角边长度，利用勾股定理直接计算斜边长度，题目较为基础。
【难度系数】
0.7
在$△ABC$中，因为$AB = AC = 4$，$∠A = 90°$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$，将$AB = 4$，$AC = 4$代入可得：$BC=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{16 + 16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理、等腰直角三角形
【点评】
本题考查勾股定理在等腰直角三角形中的应用，通过已知的直角边长度，利用勾股定理直接计算斜边长度，题目较为基础。
【难度系数】
0.7
3. 一个直角三角形的两边长为$ 2 $和$ 3 $，则第三边长为
$\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{13}$
。答案
3. $\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{13}$
解析
【解析】
本题需要分情况讨论：
- 情况一：当$2$和$3$为直角边时
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得第三边（斜边）的长度为：
$\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$
- 情况二：当$3$为斜边，$2$为直角边时
同样根据勾股定理，可得第三边（另一条直角边）的长度为：
$\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$
综上，第三边长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理、分类讨论
【点评】
本题考查勾股定理的应用，关键是要分情况讨论边长是直角边还是斜边。
【难度系数】
0.6
本题需要分情况讨论：
- 情况一：当$2$和$3$为直角边时
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得第三边（斜边）的长度为：
$\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$
- 情况二：当$3$为斜边，$2$为直角边时
同样根据勾股定理，可得第三边（另一条直角边）的长度为：
$\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$
综上，第三边长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理、分类讨论
【点评】
本题考查勾股定理的应用，关键是要分情况讨论边长是直角边还是斜边。
【难度系数】
0.6
