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14. 先化简，再求值：$x(\sqrt{6} - x) + (x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$，其中$x = \sqrt{2}$.
答案
14. 解：原式$=\sqrt{6}x-x^{2}+x^{2}-5=\sqrt{6}x-5$。当$x=\sqrt{2}$时，原式$=\sqrt{6}×\sqrt{2}-5=2\sqrt{3}-5$。
解析
【解析】
原式$=\sqrt{6}x - x^{2}+x^{2}-5=\sqrt{6}x - 5$。
当$x = \sqrt{2}$时，
原式$=\sqrt{6}×\sqrt{2}-5=\sqrt{12}-5=2\sqrt{3}-5$。
【答案】
$2\sqrt{3}-5$
【知识点】
整式乘法、平方差公式、根式运算
【点评】
本题考查整式化简求值，先利用整式乘法法则和平方差公式化简式子，再代入求值，考查学生对相关公式和运算的掌握。
【难度系数】
0.6
原式$=\sqrt{6}x - x^{2}+x^{2}-5=\sqrt{6}x - 5$。
当$x = \sqrt{2}$时，
原式$=\sqrt{6}×\sqrt{2}-5=\sqrt{12}-5=2\sqrt{3}-5$。
【答案】
$2\sqrt{3}-5$
【知识点】
整式乘法、平方差公式、根式运算
【点评】
本题考查整式化简求值，先利用整式乘法法则和平方差公式化简式子，再代入求值，考查学生对相关公式和运算的掌握。
【难度系数】
0.6
15. 当$x = \sqrt{23} - 1$时，求代数式$x^{2} + 2x + 2$的值.
答案
15. 解：原式$=x^{2}+2x+1+1=(x+1)^{2}+1$。当$x=\sqrt{23}-1$时，原式$=23+1=24$。
解析
【解析】
原式$=x^{2}+2x+1+1=(x+1)^{2}+1$。
当$x = \sqrt{23}-1$时，$x + 1=\sqrt{23}-1 + 1=\sqrt{23}$，
则原式$=(\sqrt{23})^{2}+1=23 + 1=24$。
【答案】
$24$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题通过对代数式进行变形，利用完全平方公式简化计算，思路清晰。
【难度系数】
$0.6$
原式$=x^{2}+2x+1+1=(x+1)^{2}+1$。
当$x = \sqrt{23}-1$时，$x + 1=\sqrt{23}-1 + 1=\sqrt{23}$，
则原式$=(\sqrt{23})^{2}+1=23 + 1=24$。
【答案】
$24$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题通过对代数式进行变形，利用完全平方公式简化计算，思路清晰。
【难度系数】
$0.6$
16. 若$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$，试求$\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a}$的值.
答案
16. 解：$\because a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，$\therefore a+b=4$，$ab=4-3=1$，$a-b=2\sqrt{3}$，$\therefore\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}=\frac{(a+b)(a-b)}{ab}=\frac{4×2\sqrt{3}}{1}=8\sqrt{3}$。
解析
【解析】
已知$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$。
- 步骤一：计算$a + b$，$ab$，$a - b$的值
$a + b=(2 + \sqrt{3})+(2 - \sqrt{3}) = 4$。
$ab=(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4 - 3 = 1$。
$a - b=(2 + \sqrt{3})-(2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$。
- 步骤二：对$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$进行化简并求值
$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}=\frac{(a + b)(a - b)}{ab}$，将$a + b = 4$，$ab = 1$，$a - b = 2\sqrt{3}$代入可得：$\frac{4×2\sqrt{3}}{1}=8\sqrt{3}$。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算、平方差公式、分式化简
【点评】
本题先通过已知条件求出$a + b$，$ab$，$a - b$的值，再对所求分式进行化简，最后代入求值，考查了学生对二次根式运算、平方差公式以及分式化简的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
已知$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$。
- 步骤一：计算$a + b$，$ab$，$a - b$的值
$a + b=(2 + \sqrt{3})+(2 - \sqrt{3}) = 4$。
$ab=(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4 - 3 = 1$。
$a - b=(2 + \sqrt{3})-(2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$。
- 步骤二：对$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$进行化简并求值
$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}=\frac{(a + b)(a - b)}{ab}$，将$a + b = 4$，$ab = 1$，$a - b = 2\sqrt{3}$代入可得：$\frac{4×2\sqrt{3}}{1}=8\sqrt{3}$。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算、平方差公式、分式化简
【点评】
本题先通过已知条件求出$a + b$，$ab$，$a - b$的值，再对所求分式进行化简，最后代入求值，考查了学生对二次根式运算、平方差公式以及分式化简的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
17. (2025·河北) 计算：$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6}) = $(
A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
B
)A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
答案
17. B
解析
【解析】
本题可根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$来计算$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})$。
- 步骤一：利用平方差公式展开式子
在$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})$中，$a = \sqrt{10}$，$b = \sqrt{6}$，根据平方差公式可得：
$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})=(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2$
- 步骤二：分别计算$(\sqrt{10})^2$与$(\sqrt{6})^2$
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得：
$(\sqrt{10})^2 = 10$，$(\sqrt{6})^2 = 6$。
- 步骤三：计算最终结果
将$(\sqrt{10})^2 = 10$，$(\sqrt{6})^2 = 6$代入$(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2$可得：
$(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2=10 - 6 = 4$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、二次根式的性质
【点评】
本题考查平方差公式以及二次根式的性质，先利用平方差公式将式子展开，再根据二次根式的性质进行计算，题目难度适中，需要学生熟练掌握相关公式和性质。
【难度系数】
0.7
本题可根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$来计算$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})$。
- 步骤一：利用平方差公式展开式子
在$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})$中，$a = \sqrt{10}$，$b = \sqrt{6}$，根据平方差公式可得：
$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})=(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2$
- 步骤二：分别计算$(\sqrt{10})^2$与$(\sqrt{6})^2$
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得：
$(\sqrt{10})^2 = 10$，$(\sqrt{6})^2 = 6$。
- 步骤三：计算最终结果
将$(\sqrt{10})^2 = 10$，$(\sqrt{6})^2 = 6$代入$(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2$可得：
$(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2=10 - 6 = 4$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、二次根式的性质
【点评】
本题考查平方差公式以及二次根式的性质，先利用平方差公式将式子展开，再根据二次根式的性质进行计算，题目难度适中，需要学生熟练掌握相关公式和性质。
【难度系数】
0.7
18. (2025·台湾) 计算$(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) × \sqrt{2}$的结果，与下列何者相同？(
A.$4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
C
)A.$4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
答案
18. C
解析
【解析】
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3}+\sqrt{6})×\sqrt{2}\\=&2\sqrt{3}×\sqrt{2}+\sqrt{6}×\sqrt{2}\\=&2\sqrt{6}+\sqrt{12}\\=&2\sqrt{6}+2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法、乘法分配律
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，运用乘法分配律展开计算，再化简二次根式。
【难度系数】
0.6
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3}+\sqrt{6})×\sqrt{2}\\=&2\sqrt{3}×\sqrt{2}+\sqrt{6}×\sqrt{2}\\=&2\sqrt{6}+\sqrt{12}\\=&2\sqrt{6}+2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法、乘法分配律
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，运用乘法分配律展开计算，再化简二次根式。
【难度系数】
0.6
19. (2025·甘肃) 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{6} × \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
答案
19. 解：原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
解析
【解析】
原式$=\sqrt{4×3}-\sqrt{6×\frac{1}{2}}$
$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式的运算，先化简二次根式，再进行乘法运算，最后合并同类二次根式。
【难度系数】
0.6
原式$=\sqrt{4×3}-\sqrt{6×\frac{1}{2}}$
$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式的运算，先化简二次根式，再进行乘法运算，最后合并同类二次根式。
【难度系数】
0.6
