登录
4. 某宾馆装修时，需在台阶上铺上地毯。已知台阶宽$ 2.8 \, \mathrm{m} $，其剖面图如图，则需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
答案
4. 解：如题图，根据勾股定理，$AB = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(m)$，利用平移线段，可知地毯长为$3 + 4 = 7(m)$，$\therefore$地毯的面积为$2.8×7 = 19.6(m^{2})$．答：需要购买$19.6m^{2}$的地毯才能铺满所有台阶．
解析
【解析】
如题图，根据勾股定理，$AB = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(m)$，利用平移线段，可知地毯长为$3 + 4 = 7(m)$，$\therefore$地毯的面积为$2.8×7 = 19.6(m^{2})$。
【答案】
需要购买$19.6m^{2}$的地毯才能铺满所有台阶。
【知识点】
勾股定理、平移的性质、长方形面积计算
【点评】
本题通过勾股定理求出直角边长度，再利用平移知识得到地毯长度，最后计算面积，考查知识综合运用。
【难度系数】
0.6
如题图，根据勾股定理，$AB = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(m)$，利用平移线段，可知地毯长为$3 + 4 = 7(m)$，$\therefore$地毯的面积为$2.8×7 = 19.6(m^{2})$。
【答案】
需要购买$19.6m^{2}$的地毯才能铺满所有台阶。
【知识点】
勾股定理、平移的性质、长方形面积计算
【点评】
本题通过勾股定理求出直角边长度，再利用平移知识得到地毯长度，最后计算面积，考查知识综合运用。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$△ ABC$中，$ ∠ ACB = 90° $，$ AD $平分$ ∠ CAB $交$ BC $于点$ D $，$ AC = 6 $，$ BC = 8 $，求$ S_{△ ABD} $。
答案
5. 解：作$DE⊥ AB$，垂足为点$E$，$DE$即为点$D$到$AB$的距离．又$\because ∠ C = 90°$，$AD$平分$∠ CAB$，$\therefore DE = DC$．在$△ ABC$
中，$\because ∠ C = 90°$，$BC = 8$，$AC = 6$，$\therefore AB = 10$．设$CD = x$，则$DE = CD = x$，$BD = 8 - x$．在$Rt△ ACD$与$Rt△ AED$中，$\because \begin{cases} ∠ C = ∠ AED = 90°, \\ ∠ CAD = ∠ EAD, \\ AD = AD, \end{cases}$ $\therefore Rt△ ACD≌ Rt△ AED(AAS)$，$\therefore AE = AC = 6$，$\therefore BE = 4$．在$Rt△ BED$中，$\because DE^{2} + EB^{2} = DB^{2}$，即$x^{2} + 4^{2} = (8 - x)^{2}$，解得$x = 3$，$\therefore S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB· DE = \frac{1}{2}×10×3 = 15$．解析
【解析】
作$DE⊥AB$，垂足为点$E$，$DE$即为点$D$到$AB$的距离。
因为$∠ C = 90°$，$AD$平分$∠ CAB$，所以$DE = DC$。
在$△ ABC$中，因为$∠ C = 90°$，$BC = 8$，$AC = 6$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
设$CD = x$，则$DE = CD = x$，$BD = 8 - x$。
在$Rt△ ACD$与$Rt△ AED$中，因为$\begin{cases} ∠ C = ∠ AED = 90°, \\ ∠ CAD = ∠ EAD, \\ AD = AD, \end{cases}$，所以$Rt△ ACD≌Rt△ AED(AAS)$，所以$AE = AC = 6$，所以$BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$。
在$Rt△ BED$中，因为$DE^{2}+EB^{2}=DB^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，
展开得$x^{2}+16 = 64 - 16x + x^{2}$，
移项得$16x = 64 - 16$，
即$16x = 48$，解得$x = 3$。
所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}×10×3 = 15$。
【答案】
$15$
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过作辅助线，利用角平分线的性质、勾股定理以及全等三角形的知识求解三角形面积，考查了学生对多个知识点的综合运用能力。
【难度系数】
$0.4$
作$DE⊥AB$，垂足为点$E$，$DE$即为点$D$到$AB$的距离。
因为$∠ C = 90°$，$AD$平分$∠ CAB$，所以$DE = DC$。
在$△ ABC$中，因为$∠ C = 90°$，$BC = 8$，$AC = 6$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
设$CD = x$，则$DE = CD = x$，$BD = 8 - x$。
在$Rt△ ACD$与$Rt△ AED$中，因为$\begin{cases} ∠ C = ∠ AED = 90°, \\ ∠ CAD = ∠ EAD, \\ AD = AD, \end{cases}$，所以$Rt△ ACD≌Rt△ AED(AAS)$，所以$AE = AC = 6$，所以$BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$。
在$Rt△ BED$中，因为$DE^{2}+EB^{2}=DB^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，
展开得$x^{2}+16 = 64 - 16x + x^{2}$，
移项得$16x = 64 - 16$，
即$16x = 48$，解得$x = 3$。
所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}×10×3 = 15$。
【答案】
$15$
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过作辅助线，利用角平分线的性质、勾股定理以及全等三角形的知识求解三角形面积，考查了学生对多个知识点的综合运用能力。
【难度系数】
$0.4$
6. (2025·永春) 如图，在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ A = 90° $，$ BD $平分$ ∠ ABC $交$ AC $于点$ D $，$ DE // AB $交$ BC $于点$ E $。若$ CE = 10 $，$ BE = 6 $，则$△ CDE$的周长为(
A.18
B.20
C.22
D.24
D
)A.18
B.20
C.22
D.24
答案
6. D
解析
【解析】
因为$BD$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABD=∠ EBD$。
又因为$DE// AB$，所以$∠ ABD=∠ BDE$。
则$∠ EBD=∠ BDE$，所以$BE = DE = 6$。
因为$DE// AB$，所以$△ CDE∼△ CAB$。
则$\frac{CE}{CB}=\frac{DE}{AB}$，$CB=CE + BE = 10 + 6 = 16$。
设$AB = x$，$\frac{10}{16}=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{48}{5}$。
因为$△ CDE∼△ CAB$，所以$\frac{C_{△ CDE}}{C_{△ CAB}}=\frac{CE}{CB}$。
$C_{△ CAB}=AB + BC + AC$，$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{16^{2}-(\frac{48}{5})^{2}}=\frac{64}{5}$，$C_{△ CAB}=\frac{48}{5}+16+\frac{64}{5}=32$。
$\frac{C_{△ CDE}}{32}=\frac{10}{16}$，解得$C_{△ CDE}=20$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查角平分线、平行线、相似三角形等知识，通过角的关系得到线段相等，再利用相似三角形性质求解周长。
【难度系数】
0.3
因为$BD$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABD=∠ EBD$。
又因为$DE// AB$，所以$∠ ABD=∠ BDE$。
则$∠ EBD=∠ BDE$，所以$BE = DE = 6$。
因为$DE// AB$，所以$△ CDE∼△ CAB$。
则$\frac{CE}{CB}=\frac{DE}{AB}$，$CB=CE + BE = 10 + 6 = 16$。
设$AB = x$，$\frac{10}{16}=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{48}{5}$。
因为$△ CDE∼△ CAB$，所以$\frac{C_{△ CDE}}{C_{△ CAB}}=\frac{CE}{CB}$。
$C_{△ CAB}=AB + BC + AC$，$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{16^{2}-(\frac{48}{5})^{2}}=\frac{64}{5}$，$C_{△ CAB}=\frac{48}{5}+16+\frac{64}{5}=32$。
$\frac{C_{△ CDE}}{32}=\frac{10}{16}$，解得$C_{△ CDE}=20$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查角平分线、平行线、相似三角形等知识，通过角的关系得到线段相等，再利用相似三角形性质求解周长。
【难度系数】
0.3
