【例1】(1)在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别是$a,b,c$.
①若$a = 40$,$c = 41$,则$b =\_\_\_\_\_\_\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$;
②若$c = 13$,$b = 5$,则$a =\_\_\_\_\_\_\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$;
③若$a:b =\_\_\_\_\_\_3:4$,$c = 15$,则$a =\_\_\_\_\_\_\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$,$b = \boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
(2)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$.在边$BC$上有一点$P$,连接$PA$,且$PA = PB$,若$AC = 2$,$BC = 5$,求$PA$的长.

解:
规律方法
(1)在直角三角形中,已知两边的长可以直接应用勾股定理求第三边的长.
(2)当不能直接求解时,可以设出未知数,利用勾股定理找相等关系列方程求解.

(1)①9　②12　③9　12
(2)$\frac{29}{10}$

【解析】
(1)①在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，得$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{(41-40)(41+40)}=\sqrt{81}=9$；
②在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，得$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$；
③设$a=3x$，$b=4x(x＞0)$，在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得$(3x)^2+(4x)^2=15^2$，即$9x^2+16x^2=225$，$25x^2=225$，解得$x=3$，则$a=3×3=9$，$b=4×3=12$；
(2)设$PA=PB=x$，则$PC=BC-PB=5-x$。在$Rt△ACP$中，$∠C=90°$，由勾股定理得$AC^2+PC^2=PA^2$，代入$AC=2$，得$2^2+(5-x)^2=x^2$，展开得$4+25-10x+x^2=x^2$，化简得$29-10x=0$，解得$x=\frac{29}{10}$，即$PA$的长为$\frac{29}{10}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{9}$；②$\boldsymbol{12}$；③$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{12}$；(2)$\boldsymbol{\frac{29}{10}}$
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题考查勾股定理的直接应用与方程思想结合的应用，在直角三角形中，已知两边可直接用勾股定理求第三边；当边的关系为比例或存在等量关系时，可通过设未知数，利用勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何中的应用。
【难度系数】
0.7