变式训练
1.如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$AC = 3$,$AB = 5$,$AB$的垂直平分线$DE$交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,求$CE$的长.

1.解:$\frac{7}{8}$。

【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 连接$AE$，因为$DE$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得$AE=BE$。
3. 设$CE=x$，则$BE=AE=4-x$。在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AC^2+CE^2=AE^2$，即$3^2+x^2=(4-x)^2$。
4. 解方程：
$9+x^2=16-8x+x^2$，
消去$x^2$后得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$，即$CE=\frac{7}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{7}{8}}$
【知识点】
勾股定理，线段垂直平分线性质
【点评】
本题综合运用勾股定理与线段垂直平分线的性质，通过设未知数建立方程求解，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.6

【例2】如图,分别以$Rt△ ABC$的三边为边向外作正方形,三个正方形的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,若$S_{1} = 9$,$S_{2} = 16$,则$S_{3} =$()


A.25
B.50
C.72
D.144

[例2]A

【解析】
在$Rt△ABC$中，根据勾股定理可得$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
因为正方形的面积等于边长的平方，所以$S_1 = AC^2 = 9$，$S_2 = BC^2 = 16$，$S_3 = AB^2$。
则$S_3 = AC^2 + BC^2 = S_1 + S_2 = 9 + 16 = 25$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积公式
【点评】
本题考查勾股定理与正方形面积公式的综合应用，通过直角三角形三边的平方关系，将正方形面积与三角形边长建立联系，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

变式训练
2.由两个直角三角形和三个正方形组成的图形如图所示,其中阴影部分的面积是 ()


A.16
B.25
C.144
D.169

2.B

【解析】
设中间正方形的边长为$a$，根据勾股定理，在右侧直角三角形中可得：
$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
由图形性质可知，阴影部分两个正方形的面积和等于$a^2$，因此阴影部分的面积是25。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，核心是通过勾股定理求出中间正方形边长的平方，将阴影部分面积转化为该平方值，体现了转化思想的运用。
【难度系数】
0.7