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3.如图,直角三角形三边上的半圆的面积分别为$9π$,$16π$和$S$,则$S =$(
A.$7π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$25π$
D
)A.$7π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$25π$
答案
3.D
解析
【解析】
设直角三角形的三边分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），对应三个半圆的直径。
根据半圆面积公式：
对于面积为$9π$的半圆，$9π=\frac{1}{2}π(\frac{a}{2})^2$，化简得$a^2=72$；
对于面积为$16π$的半圆，$16π=\frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^2$，化简得$b^2=128$；
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得$c^2=72+128=200$。
则斜边上的半圆面积$S=\frac{1}{2}π(\frac{c}{2})^2=\frac{1}{8}π c^2=\frac{1}{8}π×200=25π$。
也可直接利用结论：直角三角形两直角边上的半圆面积之和等于斜边上的半圆面积，即$S=9π+16π=25π$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、半圆面积公式
【点评】
本题考查勾股定理与半圆面积公式的综合应用，关键是借助勾股定理建立三边的关系，进而得到三个半圆面积的数量关系，可通过简便方法快速得出结果。
【难度系数】
0.7
设直角三角形的三边分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），对应三个半圆的直径。
根据半圆面积公式：
对于面积为$9π$的半圆，$9π=\frac{1}{2}π(\frac{a}{2})^2$，化简得$a^2=72$；
对于面积为$16π$的半圆，$16π=\frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^2$，化简得$b^2=128$；
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得$c^2=72+128=200$。
则斜边上的半圆面积$S=\frac{1}{2}π(\frac{c}{2})^2=\frac{1}{8}π c^2=\frac{1}{8}π×200=25π$。
也可直接利用结论：直角三角形两直角边上的半圆面积之和等于斜边上的半圆面积，即$S=9π+16π=25π$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、半圆面积公式
【点评】
本题考查勾股定理与半圆面积公式的综合应用，关键是借助勾股定理建立三边的关系，进而得到三个半圆面积的数量关系，可通过简便方法快速得出结果。
【难度系数】
0.7
【例3】如图,$AM$是$△ ABC$的中线,$∠ C = 90°$,$MN⊥ AB$于点$N$.
求证:$AN^{2}-BN^{2}=AC^{2}$.
思路分析
思考1:在$Rt△ AMN$中,$AN^{2} =\_\_\_\_\_\_\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
思考2:在$Rt△ BMN$中,$BN^{2} =\_\_\_\_\_\_\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
证明:
规律方法
用勾股定理解决有关线段平方运算问题时的注意事项
(1)首先确定直角三角形,这样才能得到关于线段平方的结论,若没有直角三角形,可通过作垂线构造直角三角形;
(2)若结论中的线段不在同一个直角三角形中,则考虑通过相等的线段进行转化;
(3)两个直角三角形的公共边常作为串联结论的纽带.
求证:$AN^{2}-BN^{2}=AC^{2}$.
思路分析
思考1:在$Rt△ AMN$中,$AN^{2} =\_\_\_\_\_\_\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
思考2:在$Rt△ BMN$中,$BN^{2} =\_\_\_\_\_\_\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
证明:
规律方法
用勾股定理解决有关线段平方运算问题时的注意事项
(1)首先确定直角三角形,这样才能得到关于线段平方的结论,若没有直角三角形,可通过作垂线构造直角三角形;
(2)若结论中的线段不在同一个直角三角形中,则考虑通过相等的线段进行转化;
(3)两个直角三角形的公共边常作为串联结论的纽带.
答案
思路分析
思考1：$AM^{2}-MN^{2}$
思考2：$BM^{2}-MN^{2}$
证明:因为$MN⊥AB$，
所以在$Rt△ AMN$和$Rt△ BMN$中，
$AN^{2}=AM^{2}-MN^{2}$，$BN^{2}=BM^{2}-MN^{2}$，
所以$AN^{2}-BN^{2}=AM^{2}-BM^{2}$。
在$Rt△ ACM$中，$AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$。
因为AM是$△ ABC$的中线，
所以$CM=BM$，
所以$AN^{2}-BN^{2}=AM^{2}-BM^{2}=AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$。
思考1：$AM^{2}-MN^{2}$
思考2：$BM^{2}-MN^{2}$
证明:因为$MN⊥AB$，
所以在$Rt△ AMN$和$Rt△ BMN$中，
$AN^{2}=AM^{2}-MN^{2}$，$BN^{2}=BM^{2}-MN^{2}$，
所以$AN^{2}-BN^{2}=AM^{2}-BM^{2}$。
在$Rt△ ACM$中，$AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$。
因为AM是$△ ABC$的中线，
所以$CM=BM$，
所以$AN^{2}-BN^{2}=AM^{2}-BM^{2}=AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$。
解析
【解析】
思路分析
思考1：在$Rt△AMN$中，根据勾股定理可得$AN^{2}=AM^{2}-MN^{2}$；
思考2：在$Rt△BMN$中，根据勾股定理可得$BN^{2}=BM^{2}-MN^{2}$。
证明过程
因为$MN⊥AB$，所以$△AMN$和$△BMN$均为直角三角形。
在$Rt△AMN$中，由勾股定理得：$AN^{2}=AM^{2}-MN^{2}$；
在$Rt△BMN$中，由勾股定理得：$BN^{2}=BM^{2}-MN^{2}$；
则$AN^{2}-BN^{2}=(AM^{2}-MN^{2})-(BM^{2}-MN^{2})=AM^{2}-BM^{2}$。
因为$∠C=90°$，所以$△ACM$是直角三角形，由勾股定理得：$AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$。
又因为AM是$△ABC$的中线，所以$CM=BM$，
因此$AN^{2}-BN^{2}=AM^{2}-BM^{2}=AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$，即得证。
【答案】
思路分析答案：思考1：$\boldsymbol{AM^{2}-MN^{2}}$；思考2：$\boldsymbol{BM^{2}-MN^{2}}$；证明过程见上述解析。
【知识点】
勾股定理，三角形中线的性质
【点评】
本题通过勾股定理将线段平方进行转化，结合三角形中线的性质完成证明，考查了勾股定理的灵活应用，解决此类线段平方运算问题时，需找准直角三角形，利用勾股定理建立线段平方关系，必要时通过线段等量代换实现转化。
【难度系数】
0.6
思路分析
思考1：在$Rt△AMN$中，根据勾股定理可得$AN^{2}=AM^{2}-MN^{2}$；
思考2：在$Rt△BMN$中，根据勾股定理可得$BN^{2}=BM^{2}-MN^{2}$。
证明过程
因为$MN⊥AB$，所以$△AMN$和$△BMN$均为直角三角形。
在$Rt△AMN$中，由勾股定理得：$AN^{2}=AM^{2}-MN^{2}$；
在$Rt△BMN$中，由勾股定理得：$BN^{2}=BM^{2}-MN^{2}$；
则$AN^{2}-BN^{2}=(AM^{2}-MN^{2})-(BM^{2}-MN^{2})=AM^{2}-BM^{2}$。
因为$∠C=90°$，所以$△ACM$是直角三角形，由勾股定理得：$AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$。
又因为AM是$△ABC$的中线，所以$CM=BM$，
因此$AN^{2}-BN^{2}=AM^{2}-BM^{2}=AM^{2}-CM^{2}=AC^{2}$，即得证。
【答案】
思路分析答案：思考1：$\boldsymbol{AM^{2}-MN^{2}}$；思考2：$\boldsymbol{BM^{2}-MN^{2}}$；证明过程见上述解析。
【知识点】
勾股定理，三角形中线的性质
【点评】
本题通过勾股定理将线段平方进行转化，结合三角形中线的性质完成证明，考查了勾股定理的灵活应用，解决此类线段平方运算问题时，需找准直角三角形，利用勾股定理建立线段平方关系，必要时通过线段等量代换实现转化。
【难度系数】
0.6
变式训练
4.如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$.
(1)若$P$是边$BC$上的中点,连接$AP$,求证:$BP· CP = AB^{2}-AP^{2}$.
(2)若$P$是边$BC$上任意一点,上面的结论还成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
4.如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$.
(1)若$P$是边$BC$上的中点,连接$AP$,求证:$BP· CP = AB^{2}-AP^{2}$.
(2)若$P$是边$BC$上任意一点,上面的结论还成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
答案
4.(1)证明:因为$AB=AC$，P是边BC上的中点，
所以$BP=CP$，$AP⊥BC$。
所以$AB^{2}=AP^{2}+BP^{2}$，
所以$AB^{2}-AP^{2}=BP^{2}=BP· CP$。
(2)解:成立。证明如下:
如图，过点A作$AM⊥BC$于点M。
因为$AB=AC$，
所以$BM=CM$。
因为$AB^{2}=AM^{2}+BM^{2}$，$AP^{2}=AM^{2}+MP^{2}$，
所以$AB^{2}-AP^{2}=BM^{2}-MP^{2}=(BM+MP)(BM-MP)$。
因为$BM=CM$，
所以$BM+MP=CM+MP=CP$，
所以$AB^{2}-AP^{2}=BP· CP$。
解析
【解析】
(1) 证明：
因为$AB=AC$，$P$是边$BC$上的中点，
所以$BP=CP$，$AP⊥BC$。
由勾股定理得$AB^{2}=AP^{2}+BP^{2}$，
所以$AB^{2}-AP^{2}=BP^{2}=BP· CP$，得证。
(2) 结论成立，证明如下：
过点$A$作$AM⊥BC$于点$M$。
因为$AB=AC$，所以$BM=CM$。
由勾股定理得$AB^{2}=AM^{2}+BM^{2}$，$AP^{2}=AM^{2}+MP^{2}$，
两式相减得$AB^{2}-AP^{2}=BM^{2}-MP^{2}$，
根据平方差公式，$BM^{2}-MP^{2}=(BM+MP)(BM-MP)$。
因为$BM=CM$，所以$BM+MP=CM+MP=CP$，$BM-MP=BP$，
因此$AB^{2}-AP^{2}=BP· CP$，结论成立。
【答案】
(1) 证明如上，结论成立；
(2) 结论成立，证明如上。
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、平方差公式
【点评】
本题考查等腰三角形性质与勾股定理的综合运用，通过从特殊点到任意点的探究，渗透从特殊到一般的数学思想，需灵活运用勾股定理和平方差公式完成推导。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
因为$AB=AC$，$P$是边$BC$上的中点，
所以$BP=CP$，$AP⊥BC$。
由勾股定理得$AB^{2}=AP^{2}+BP^{2}$，
所以$AB^{2}-AP^{2}=BP^{2}=BP· CP$，得证。
(2) 结论成立，证明如下：
过点$A$作$AM⊥BC$于点$M$。
因为$AB=AC$，所以$BM=CM$。
由勾股定理得$AB^{2}=AM^{2}+BM^{2}$，$AP^{2}=AM^{2}+MP^{2}$，
两式相减得$AB^{2}-AP^{2}=BM^{2}-MP^{2}$，
根据平方差公式，$BM^{2}-MP^{2}=(BM+MP)(BM-MP)$。
因为$BM=CM$，所以$BM+MP=CM+MP=CP$，$BM-MP=BP$，
因此$AB^{2}-AP^{2}=BP· CP$，结论成立。
【答案】
(1) 证明如上，结论成立；
(2) 结论成立，证明如上。
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、平方差公式
【点评】
本题考查等腰三角形性质与勾股定理的综合运用，通过从特殊点到任意点的探究，渗透从特殊到一般的数学思想，需灵活运用勾股定理和平方差公式完成推导。
【难度系数】
0.6
