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1.在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,若$AC = 5$,$BC = 12$,则$AB$的长为(
A.5
B.12
C.13
D.15
C
)A.5
B.12
C.13
D.15
答案
1.C
解析
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$。
已知$AC=5$，$BC=12$，代入得：
$AB^2=5^2+12^2=25+144=169$，
所以$AB=\sqrt{169}=13$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，直接代入公式计算即可，主要考查学生对勾股定理的基本掌握程度。
【难度系数】
0.9
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$。
已知$AC=5$，$BC=12$，代入得：
$AB^2=5^2+12^2=25+144=169$，
所以$AB=\sqrt{169}=13$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，直接代入公式计算即可，主要考查学生对勾股定理的基本掌握程度。
【难度系数】
0.9
2.若一个直角三角形的两直角边长分别为$1$,$a$,斜边的长为$\sqrt{3}$,则$a$的值为(
A.4
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}$
D
)A.4
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}$
答案
2.D
解析
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$1^2 + a^2 = (\sqrt{3})^2$
计算得：$1 + a^2 = 3$，即$a^2 = 2$。
因为$a$是直角三角形的边长，为正数，所以$a = \sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的基本应用，解题时需注意边长为正数这一隐含条件，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$1^2 + a^2 = (\sqrt{3})^2$
计算得：$1 + a^2 = 3$，即$a^2 = 2$。
因为$a$是直角三角形的边长，为正数，所以$a = \sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的基本应用，解题时需注意边长为正数这一隐含条件，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.若直角三角形的两条边的长分别为$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$,则第三条边的长为(
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$
D.2或$\sqrt{2}$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$
D.2或$\sqrt{2}$
答案
3.C
解析
【解析】
本题需分两种情况讨论：
1. 当$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$为两条直角边时，根据勾股定理，第三条边（斜边）的长为：
$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{3+5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$；
2. 当$\sqrt{5}$为斜边，$\sqrt{3}$为直角边时，第三条边（另一条直角边）的长为：
$\sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5-3} = \sqrt{2}$。
综上，第三条边的长为$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，易错点在于易忽略分类讨论，仅考虑两条边为直角边的情况，解题时需注意斜边是直角三角形中最长的边，判断边长的合理性。
【难度系数】
0.6
本题需分两种情况讨论：
1. 当$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$为两条直角边时，根据勾股定理，第三条边（斜边）的长为：
$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{3+5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$；
2. 当$\sqrt{5}$为斜边，$\sqrt{3}$为直角边时，第三条边（另一条直角边）的长为：
$\sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5-3} = \sqrt{2}$。
综上，第三条边的长为$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，易错点在于易忽略分类讨论，仅考虑两条边为直角边的情况，解题时需注意斜边是直角三角形中最长的边，判断边长的合理性。
【难度系数】
0.6
4.如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$上一点,$BD = 5$,$CD = 4$,$AC = AD$,则$AB^{2}-AC^{2}=$(
A.25
B.29
C.41
D.45
D
)A.25
B.29
C.41
D.45
答案
4.D
解析
【解析】
过点$ A $作$ AE ⊥ BC $于点$ E $。
因为$ AC = AD $，根据等腰三角形三线合一，可得$ DE = CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
又因为$ BD = 5 $，所以$ BE = BD + DE = 5 + 2 = 7 $。
由勾股定理得：
$ AB^2 = AE^2 + BE^2 $，$ AC^2 = AE^2 + CE^2 $，
则$ AB^2 - AC^2 = (AE^2 + BE^2) - (AE^2 + CE^2) = BE^2 - CE^2 = 7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45 $。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质与勾股定理的综合运用，通过作高构造直角三角形，将线段平方差转化为已知线段的计算是解题关键。
【难度系数】
0.6
过点$ A $作$ AE ⊥ BC $于点$ E $。
因为$ AC = AD $，根据等腰三角形三线合一，可得$ DE = CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
又因为$ BD = 5 $，所以$ BE = BD + DE = 5 + 2 = 7 $。
由勾股定理得：
$ AB^2 = AE^2 + BE^2 $，$ AC^2 = AE^2 + CE^2 $，
则$ AB^2 - AC^2 = (AE^2 + BE^2) - (AE^2 + CE^2) = BE^2 - CE^2 = 7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45 $。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质与勾股定理的综合运用，通过作高构造直角三角形，将线段平方差转化为已知线段的计算是解题关键。
【难度系数】
0.6
5.如图,已知两正方形的面积分别是$25$和$169$,则字母$B$所代表的正方形的面积为
144
.答案
5.144
解析
【解析】
根据勾股定理，直角三角形斜边对应的正方形面积等于两直角边对应的正方形面积之和，因此字母B所代表的正方形的面积为$169 - 25 = 144$。
【答案】
144
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，关键是明确正方形的面积等于其边长的平方，将正方形面积关系转化为直角三角形的边长平方关系求解。
【难度系数】
0.8
根据勾股定理，直角三角形斜边对应的正方形面积等于两直角边对应的正方形面积之和，因此字母B所代表的正方形的面积为$169 - 25 = 144$。
【答案】
144
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，关键是明确正方形的面积等于其边长的平方，将正方形面积关系转化为直角三角形的边长平方关系求解。
【难度系数】
0.8
6.在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别为$a,b,c$.
(1)若$a:b = 3:4$,$c = 10$,求$a,b$的值.
(2)若$c - a = 4$,$b = 16$,求$a$的值.
(1)若$a:b = 3:4$,$c = 10$,求$a,b$的值.
(2)若$c - a = 4$,$b = 16$,求$a$的值.
答案
6.解:(1)$a=6$，$b=8$。 (2)$a=30$。
解析
【解析】
(1) 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入得：
$(3k)^2+(4k)^2=10^2$，
即$9k^2+16k^2=100$，
$25k^2=100$，
解得$k=2$（$k=-2$舍去），
所以$a=3×2=6$，$b=4×2=8$。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，
已知$c - a=4$，则$c=a+4$，$b=16$，代入得：
$a^2+16^2=(a+4)^2$，
展开得$a^2+256=a^2+8a+16$，
移项化简得$8a=240$，
解得$a=30$。
【答案】
(1)$a=6$，$b=8$；(2)$a=30$
【知识点】
勾股定理，比例设元
【点评】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，通过设未知数结合勾股定理构建方程求解，侧重对勾股定理基本运用和方程思想的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入得：
$(3k)^2+(4k)^2=10^2$，
即$9k^2+16k^2=100$，
$25k^2=100$，
解得$k=2$（$k=-2$舍去），
所以$a=3×2=6$，$b=4×2=8$。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，
已知$c - a=4$，则$c=a+4$，$b=16$，代入得：
$a^2+16^2=(a+4)^2$，
展开得$a^2+256=a^2+8a+16$，
移项化简得$8a=240$，
解得$a=30$。
【答案】
(1)$a=6$，$b=8$；(2)$a=30$
【知识点】
勾股定理，比例设元
【点评】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，通过设未知数结合勾股定理构建方程求解，侧重对勾股定理基本运用和方程思想的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7.如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$CD⊥ AB$,且$CD = 4\space cm$,$BD = 3\space cm$.
(1)求$AD$的长;
(2)求$△ ABC$的面积.
(1)求$AD$的长;
(2)求$△ ABC$的面积.
答案
7.解:(1)$\frac{7}{6}cm$。 (2)$\frac{25}{3}cm^{2}$。
解析
【解析】
(1) 设$AD = x\ \mathrm{cm}$，因为$AB = AC$，所以$AC = AB = AD + BD = (x + 3)\ \mathrm{cm}$。
因为$CD ⊥ AB$，所以$△ ADC$是直角三角形，根据勾股定理：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，代入已知条件得：
$x^2 + 4^2 = (x + 3)^2$
展开并化简：$x^2 + 16 = x^2 + 6x + 9$，解得$x = \frac{7}{6}$，即$AD = \frac{7}{6}\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可得$AB = AD + BD = \frac{7}{6} + 3 = \frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$，
根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × \frac{25}{6} × 4 = \frac{25}{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{7}{6}\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{25}{3}\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形面积公式
【点评】
本题考查等腰三角形性质与勾股定理的综合运用，通过设未知数构建方程求解是核心思路，需熟练掌握直角三角形的勾股定理及三角形面积计算方法。
【难度系数】
0.6
(1) 设$AD = x\ \mathrm{cm}$，因为$AB = AC$，所以$AC = AB = AD + BD = (x + 3)\ \mathrm{cm}$。
因为$CD ⊥ AB$，所以$△ ADC$是直角三角形，根据勾股定理：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，代入已知条件得：
$x^2 + 4^2 = (x + 3)^2$
展开并化简：$x^2 + 16 = x^2 + 6x + 9$，解得$x = \frac{7}{6}$，即$AD = \frac{7}{6}\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可得$AB = AD + BD = \frac{7}{6} + 3 = \frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$，
根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × \frac{25}{6} × 4 = \frac{25}{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{7}{6}\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{25}{3}\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形面积公式
【点评】
本题考查等腰三角形性质与勾股定理的综合运用，通过设未知数构建方程求解是核心思路，需熟练掌握直角三角形的勾股定理及三角形面积计算方法。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$△ ABC$中,$AB = AC = 10$,$BC = 16$,$D$是$BC$的中点,$E$是线段$BD$上的一点,过点$E$作$EF⊥ BD$交$AB$于点$F$,连接$AE$,若$∠ AEF = ∠ B$.
(1)求证:$AE⊥ AC$.
(2)求$DE$的长.
(1)求证:$AE⊥ AC$.
(2)求$DE$的长.
答案
8.(1)证明:因为$AB=AC$，
所以$∠B=∠C$。
因为$EF⊥BD$，
所以$∠AEF+∠AED=90°$。
因为$∠AEF=∠B$，$∠B=∠C$，
所以$∠C+∠AED=90°$，
所以$∠EAC=90°$，
所以$AE⊥AC$。
(2)解:$DE=4.5$。
所以$∠B=∠C$。
因为$EF⊥BD$，
所以$∠AEF+∠AED=90°$。
因为$∠AEF=∠B$，$∠B=∠C$，
所以$∠C+∠AED=90°$，
所以$∠EAC=90°$，
所以$AE⊥AC$。
(2)解:$DE=4.5$。
解析
【解析】
(1)证明：
因为$AB=AC$，所以$∠B=∠C$。
因为$EF⊥BD$，所以$∠AEF+∠AED=90°$。
又因为$∠AEF=∠B$，且$∠B=∠C$，所以$∠C+∠AED=90°$。
在$△ AEC$中，$∠C+∠AED+∠EAC=180°$，则$∠EAC=180°-(∠C+∠AED)=90°$，故$AE⊥AC$。
(2)解：
因为$AB=AC=10$，$BC=16$，$D$是$BC$的中点，根据等腰三角形三线合一，得$AD⊥BC$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=8$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$DE=x$，则$EC=8+x$，$AE^2=AD^2+DE^2=6^2+x^2=36+x^2$。
由(1)知$AE⊥AC$，在$Rt△ AEC$中，根据勾股定理：$AE^2+AC^2=EC^2$，即$36+x^2+10^2=(8+x)^2$。
化简得$136=64+16x$，解得$x=4.5$，即$DE=4.5$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{DE=4.5}$
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、直角三角形判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质、勾股定理及直角三角形的相关知识，需要灵活运用角的等量代换和勾股定理建立方程求解，逻辑推理与计算能力结合紧密。
【难度系数】
0.6
(1)证明：
因为$AB=AC$，所以$∠B=∠C$。
因为$EF⊥BD$，所以$∠AEF+∠AED=90°$。
又因为$∠AEF=∠B$，且$∠B=∠C$，所以$∠C+∠AED=90°$。
在$△ AEC$中，$∠C+∠AED+∠EAC=180°$，则$∠EAC=180°-(∠C+∠AED)=90°$，故$AE⊥AC$。
(2)解：
因为$AB=AC=10$，$BC=16$，$D$是$BC$的中点，根据等腰三角形三线合一，得$AD⊥BC$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=8$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$DE=x$，则$EC=8+x$，$AE^2=AD^2+DE^2=6^2+x^2=36+x^2$。
由(1)知$AE⊥AC$，在$Rt△ AEC$中，根据勾股定理：$AE^2+AC^2=EC^2$，即$36+x^2+10^2=(8+x)^2$。
化简得$136=64+16x$，解得$x=4.5$，即$DE=4.5$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{DE=4.5}$
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、直角三角形判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质、勾股定理及直角三角形的相关知识，需要灵活运用角的等量代换和勾股定理建立方程求解，逻辑推理与计算能力结合紧密。
【难度系数】
0.6
